Theorem prnmadd 10920

Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10918	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltrelnq 10849	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 5697	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
5		ltexnq 10898	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
6	5	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
7	4, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8		eleq1a 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
9	8	eximdv 1919	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
11	10	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
12	1, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  Qcnq 10775   +_Q cplq 10778   <_Q cltq 10781  Pcnp 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ni 10795  df-pli 10796  df-mi 10797  df-lti 10798  df-plpq 10831  df-mpq 10832  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-plq 10837  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-ltnq 10841  df-np 10904

This theorem is referenced by:  ltexprlem1  10959  ltexprlem7  10965