Theorem prnmadd 11035

Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 11033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltrelnq 10964	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 5754	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
5		ltexnq 11013	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
6	5	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
7	4, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8		eleq1a 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
9	8	eximdv 1915	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
11	10	rexlimiv 3146	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
12	1, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  Qcnq 10890   +_Q cplq 10893   <_Q cltq 10896  Pcnp 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-ltnq 10956  df-np 11019

This theorem is referenced by:  ltexprlem1  11074  ltexprlem7  11080