Theorem prnmadd 10753

Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10751	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltrelnq 10682	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
4	3	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
5		ltexnq 10731	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
6	5	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
7	4, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8		eleq1a 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
9	8	eximdv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
11	10	rexlimiv 3209	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
12	1, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Qcnq 10608   +_Q cplq 10611   <_Q cltq 10614  Pcnp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-ltnq 10674  df-np 10737

This theorem is referenced by:  ltexprlem1  10792  ltexprlem7  10798