Theorem prnmadd 10957

Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltrelnq 10886	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 5706	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
5		ltexnq 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
6	5	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
7	4, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8		eleq1a 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
9	8	eximdv 1917	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
11	10	rexlimiv 3128	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
12	1, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  Qcnq 10812   +_Q cplq 10815   <_Q cltq 10818  Pcnp 10819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ni 10832  df-pli 10833  df-mi 10834  df-lti 10835  df-plpq 10868  df-mpq 10869  df-ltpq 10870  df-enq 10871  df-nq 10872  df-erq 10873  df-plq 10874  df-mq 10875  df-1nq 10876  df-ltnq 10878  df-np 10941

This theorem is referenced by:  ltexprlem1  10996  ltexprlem7  11002