Theorem prnmadd 10914

Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10912	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltrelnq 10843	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
5		ltexnq 10892	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
6	5	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
7	4, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8		eleq1a 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
9	8	eximdv 1919	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
11	10	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
12	1, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  Qcnq 10769   +_Q cplq 10772   <_Q cltq 10775  Pcnp 10776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ni 10789  df-pli 10790  df-mi 10791  df-lti 10792  df-plpq 10825  df-mpq 10826  df-ltpq 10827  df-enq 10828  df-nq 10829  df-erq 10830  df-plq 10831  df-mq 10832  df-1nq 10833  df-ltnq 10835  df-np 10898

This theorem is referenced by:  ltexprlem1  10953  ltexprlem7  10959