MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prnmadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prnmadd 10988
Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prnmadd ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 10986 . 2 ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2 ltrelnq 10917 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 5731 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵Q𝑦Q))
43simprd 495 . . . . 5 (𝐵 <Q 𝑦𝑦Q)
5 ltexnq 10966 . . . . . 6 (𝑦Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
65biimpcd 248 . . . . 5 (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
74, 6mpd 15 . . . 4 (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8 eleq1a 2820 . . . . 5 (𝑦𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
98eximdv 1912 . . . 4 (𝑦𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
107, 9syl5 34 . . 3 (𝑦𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
1110rexlimiv 3140 . 2 (∃𝑦𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
121, 11syl 17 1 ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  Qcnq 10843   +Q cplq 10846   <Q cltq 10849  Pcnp 10850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-ltnq 10909  df-np 10972
This theorem is referenced by:  ltexprlem1  11027  ltexprlem7  11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator