MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prnmadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prnmadd 10413
Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prnmadd ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prnmadd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 10411 . 2 ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝐵 <Q 𝑦)
2 ltrelnq 10342 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 5616 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑦 → (𝐵Q𝑦Q))
43simprd 496 . . . . 5 (𝐵 <Q 𝑦𝑦Q)
5 ltexnq 10391 . . . . . 6 (𝑦Q → (𝐵 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
65biimpcd 250 . . . . 5 (𝐵 <Q 𝑦 → (𝑦Q → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦))
74, 6mpd 15 . . . 4 (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
8 eleq1a 2913 . . . . 5 (𝑦𝐴 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
98eximdv 1911 . . . 4 (𝑦𝐴 → (∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
107, 9syl5 34 . . 3 (𝑦𝐴 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴))
1110rexlimiv 3285 . 2 (∃𝑦𝐴 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
121, 11syl 17 1 ((𝐴P𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wrex 3144   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  Qcnq 10268   +Q cplq 10271   <Q cltq 10274  Pcnp 10275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-ltnq 10334  df-np 10397
This theorem is referenced by:  ltexprlem1  10452  ltexprlem7  10458
  Copyright terms: Public domain W3C validator