MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexpri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexpri 10459
Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexpri (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 10414 . . 3 <P ⊆ (P × P)
21brel 5605 . 2 (𝐴<P 𝐵 → (𝐴P𝐵P))
3 ltprord 10446 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵𝐴𝐵))
4 oveq2 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
54eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
65anbi2d 631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
76exbidv 1923 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
87cbvabv 2892 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
98ltexprlem5 10456 . . . . . 6 ((𝐵P𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
109adantll 713 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
118ltexprlem6 10457 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
128ltexprlem7 10458 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
1311, 12eqssd 3970 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14 oveq2 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
1514eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
1615rspcev 3609 . . . . 5 (({𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
1710, 13, 16syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
1817ex 416 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
193, 18sylbid 243 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
202, 19mpcom 38 1 (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  {cab 2802  wrex 3134  wpss 3920   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146   +Q cplq 10271  Pcnp 10275   +P cpp 10277  <P cltp 10279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-rq 10333  df-ltnq 10334  df-np 10397  df-plp 10399  df-ltp 10401
This theorem is referenced by:  ltaprlem  10460  recexsrlem  10519  mulgt0sr  10521  map2psrpr  10526
  Copyright terms: Public domain W3C validator