Theorem ltexpri 11068

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 11023	. . 3 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5743	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3		ltprord 11055	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
5	4	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
7	6	exbidv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
8	7	cbvabv 2798	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
9	8	ltexprlem5 11065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
10	9	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
11	8	ltexprlem6 11066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
12	8	ltexprlem7 11067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
13	11, 12	eqssd 3994	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
15	14	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
16	15	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
17	10, 13, 16	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
19	3, 18	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
20	2, 19	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2702  ∃wrex 3059   ⊊ wpss 3945   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419   +_Q cplq 10880  Pcnp 10884   +_P cpp 10886  <_P cltp 10888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006  df-plp 11008  df-ltp 11010

This theorem is referenced by:  ltaprlem  11069  recexsrlem  11128  mulgt0sr  11130  map2psrpr  11135