Theorem ltexpri 10810

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 10765	. . 3 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5653	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3		ltprord 10797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		oveq2 7280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
5	4	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6	5	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
7	6	exbidv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
8	7	cbvabv 2813	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
9	8	ltexprlem5 10807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
10	9	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
11	8	ltexprlem6 10808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
12	8	ltexprlem7 10809	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
13	11, 12	eqssd 3943	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14		oveq2 7280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
15	14	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
16	15	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
17	10, 13, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
18	17	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
19	3, 18	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
20	2, 19	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  {cab 2717  ∃wrex 3067   ⊊ wpss 3893   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272   +_Q cplq 10622  Pcnp 10626   +_P cpp 10628  <_P cltp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-ni 10639  df-pli 10640  df-mi 10641  df-lti 10642  df-plpq 10675  df-mpq 10676  df-ltpq 10677  df-enq 10678  df-nq 10679  df-erq 10680  df-plq 10681  df-mq 10682  df-1nq 10683  df-rq 10684  df-ltnq 10685  df-np 10748  df-plp 10750  df-ltp 10752

This theorem is referenced by:  ltaprlem  10811  recexsrlem  10870  mulgt0sr  10872  map2psrpr  10877