Theorem ltexpri 11074

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 11029	. . 3 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5747	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3		ltprord 11061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		oveq2 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
5	4	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
7	6	exbidv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
8	7	cbvabv 2801	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
9	8	ltexprlem5 11071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
10	9	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
11	8	ltexprlem6 11072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
12	8	ltexprlem7 11073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
13	11, 12	eqssd 3999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
15	14	eqeq1d 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
16	15	rspcev 3611	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
17	10, 13, 16	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
19	3, 18	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
20	2, 19	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2705  ∃wrex 3067   ⊊ wpss 3950   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   +_Q cplq 10886  Pcnp 10890   +_P cpp 10892  <_P cltp 10894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-plp 11014  df-ltp 11016

This theorem is referenced by:  ltaprlem  11075  recexsrlem  11134  mulgt0sr  11136  map2psrpr  11141