MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexpri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexpri 11037
Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexpri (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 10992 . . 3 <P ⊆ (P × P)
21brel 5734 . 2 (𝐴<P 𝐵 → (𝐴P𝐵P))
3 ltprord 11024 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵𝐴𝐵))
4 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
54eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
65anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
76exbidv 1916 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
87cbvabv 2799 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
98ltexprlem5 11034 . . . . . 6 ((𝐵P𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
109adantll 711 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
118ltexprlem6 11035 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
128ltexprlem7 11036 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
1311, 12eqssd 3994 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
1514eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
1615rspcev 3606 . . . . 5 (({𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤𝑤𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
1710, 13, 16syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
1817ex 412 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
193, 18sylbid 239 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
202, 19mpcom 38 1 (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2703  wrex 3064  wpss 3944   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   +Q cplq 10849  Pcnp 10853   +P cpp 10855  <P cltp 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-plp 10977  df-ltp 10979
This theorem is referenced by:  ltaprlem  11038  recexsrlem  11097  mulgt0sr  11099  map2psrpr  11104
  Copyright terms: Public domain W3C validator