Theorem ltaprlem 11063

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaprlem	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 11017	. . . . . 6 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5724	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
4		ltexpri 11062	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5		addclpr 11037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6		ltaddpr 11053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7		addasspr 11041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
9	7, 8	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
10	9	breq2d 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
11	6, 10	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
12	11	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
14	13	com3r 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
15	14	rexlimiv 3135	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
16	4, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
17	3, 16	sylan2i 606	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
18	17	expd 415	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	pm2.43b 55	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  Pcnp 10878   +_P cpp 10880  <_P cltp 10882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-ni 10891  df-pli 10892  df-mi 10893  df-lti 10894  df-plpq 10927  df-mpq 10928  df-ltpq 10929  df-enq 10930  df-nq 10931  df-erq 10932  df-plq 10933  df-mq 10934  df-1nq 10935  df-rq 10936  df-ltnq 10937  df-np 11000  df-plp 11002  df-ltp 11004

This theorem is referenced by:  ltapr  11064