MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaprlem 10068
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltaprlem (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 10022 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
21brel 5308 . . . . 5 (𝐴<P 𝐵 → (𝐴P𝐵P))
32simpld 482 . . . 4 (𝐴<P 𝐵𝐴P)
4 ltexpri 10067 . . . . 5 (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5 addclpr 10042 . . . . . . . 8 ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6 ltaddpr 10058 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P𝑥P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7 addasspr 10046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
97, 8syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
109breq2d 4798 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
116, 10syl5ib 234 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P𝑥P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
1211expd 400 . . . . . . . 8 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
135, 12syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝑥P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1413com3r 87 . . . . . 6 (𝑥P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1514rexlimiv 3175 . . . . 5 (∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
164, 15syl 17 . . . 4 (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
173, 16sylan2i 593 . . 3 (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶P𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
1817expd 400 . 2 (𝐴<P 𝐵 → (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1918pm2.43b 55 1 (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  Pcnp 9883   +P cpp 9885  <P cltp 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ni 9896  df-pli 9897  df-mi 9898  df-lti 9899  df-plpq 9932  df-mpq 9933  df-ltpq 9934  df-enq 9935  df-nq 9936  df-erq 9937  df-plq 9938  df-mq 9939  df-1nq 9940  df-rq 9941  df-ltnq 9942  df-np 10005  df-plp 10007  df-ltp 10009
This theorem is referenced by:  ltapr  10069
  Copyright terms: Public domain W3C validator