Theorem ltaprlem 10731

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaprlem	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 10685	. . . . . 6 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5643	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
4		ltexpri 10730	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5		addclpr 10705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6		ltaddpr 10721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7		addasspr 10709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
9	7, 8	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
10	9	breq2d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
11	6, 10	syl5ib 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
12	11	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
14	13	com3r 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
15	14	rexlimiv 3208	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
16	4, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
17	3, 16	sylan2i 605	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
18	17	expd 415	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	pm2.43b 55	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  Pcnp 10546   +_P cpp 10548  <_P cltp 10550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-plp 10670  df-ltp 10672

This theorem is referenced by:  ltapr  10732