MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaprlem 11077
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltaprlem (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 11031 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
21brel 5747 . . . . 5 (𝐴<P 𝐵 → (𝐴P𝐵P))
32simpld 493 . . . 4 (𝐴<P 𝐵𝐴P)
4 ltexpri 11076 . . . . 5 (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5 addclpr 11051 . . . . . . . 8 ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6 ltaddpr 11067 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P𝑥P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7 addasspr 11055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
97, 8eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
109breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
116, 10imbitrid 243 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P𝑥P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
1211expd 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
135, 12syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝑥P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1413com3r 87 . . . . . 6 (𝑥P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1514rexlimiv 3145 . . . . 5 (∃𝑥P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
164, 15syl 17 . . . 4 (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
173, 16sylan2i 604 . . 3 (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶P𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
1817expd 414 . 2 (𝐴<P 𝐵 → (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1918pm2.43b 55 1 (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  Pcnp 10892   +P cpp 10894  <P cltp 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ni 10905  df-pli 10906  df-mi 10907  df-lti 10908  df-plpq 10941  df-mpq 10942  df-ltpq 10943  df-enq 10944  df-nq 10945  df-erq 10946  df-plq 10947  df-mq 10948  df-1nq 10949  df-rq 10950  df-ltnq 10951  df-np 11014  df-plp 11016  df-ltp 11018
This theorem is referenced by:  ltapr  11078
  Copyright terms: Public domain W3C validator