Theorem ltaprlem 10988

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaprlem	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 10942	. . . . . 6 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5701	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3	2	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
4		ltexpri 10987	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5		addclpr 10962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6		ltaddpr 10978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7		addasspr 10966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8		oveq2 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
9	7, 8	eqtrid 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
10	9	breq2d 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
11	6, 10	imbitrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
12	11	expd 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
14	13	com3r 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
15	14	rexlimiv 3146	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
16	4, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
17	3, 16	sylan2i 614	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
18	17	expd 418	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	pm2.43b 55	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  Pcnp 10803   +_P cpp 10805  <_P cltp 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-oadd 8425  df-omul 8426  df-er 8662  df-ni 10816  df-pli 10817  df-mi 10818  df-lti 10819  df-plpq 10852  df-mpq 10853  df-ltpq 10854  df-enq 10855  df-nq 10856  df-erq 10857  df-plq 10858  df-mq 10859  df-1nq 10860  df-rq 10861  df-ltnq 10862  df-np 10925  df-plp 10927  df-ltp 10929

This theorem is referenced by:  ltapr  10989