Theorem ltaprlem 11142

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaprlem	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 11096	. . . . . 6 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5720	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3	2	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
4		ltexpri 11141	. . . . 5 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
5		addclpr 11116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
6		ltaddpr 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥))
7		addasspr 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥))
8		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
9	7, 8	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
10	9	breq2d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴)<P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
11	6, 10	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → (((𝐶 +P 𝐴) ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
12	11	expd 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 +P 𝐴) ∈ P → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
13	5, 12	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝑥 ∈ P → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
14	13	com3r 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ P → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
15	14	rexlimiv 3160	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
16	4, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
17	3, 16	sylan2i 618	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴<P 𝐵) → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
18	17	expd 421	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	pm2.43b 56	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  Pcnp 10957   +_P cpp 10959  <_P cltp 10961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-ni 10970  df-pli 10971  df-mi 10972  df-lti 10973  df-plpq 11006  df-mpq 11007  df-ltpq 11008  df-enq 11009  df-nq 11010  df-erq 11011  df-plq 11012  df-mq 11013  df-1nq 11014  df-rq 11015  df-ltnq 11016  df-np 11079  df-plp 11081  df-ltp 11083

This theorem is used by:  ltapr  11143