MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11150
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11108 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
21brel 5750 . . . 4 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R𝐴R))
32simprd 495 . . 3 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴𝐴R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 𝐶R
5 ltasr 11140 . . . . . 6 (𝐶R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
7 pn0sr 11141 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R
98oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴)
10 addasssr 11128 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))
11 addcomsr 11127 . . . . . . . 8 (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2773 . . . . . . 7 (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R)
13 0idsr 11137 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
1412, 13eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
1514breq2d 5155 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
166, 15bitrid 283 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
17 m1r 11122 . . . . . . . 8 -1RR
18 mulclsr 11124 . . . . . . . 8 ((𝐶R ∧ -1RR) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
194, 17, 18mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐶 ·R -1R) ∈ R
20 addclsr 11123 . . . . . . 7 (((𝐶 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
2119, 20mpan 690 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
22 df-nr 11096 . . . . . . 7 R = ((P × P) / ~R )
23 breq2 5147 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
24 eqeq2 2749 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2524rexbidv 3179 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
27 df-m1r 11102 . . . . . . . . . . 11 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2827breq1i 5150 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
29 addasspr 11062 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦))
3029breq2i 5151 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
31 ltsrpr 11117 . . . . . . . . . . 11 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦))
32 1pr 11055 . . . . . . . . . . . 12 1PP
33 ltapr 11085 . . . . . . . . . . . 12 (1PP → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
3530, 31, 343bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
3628, 35bitri 275 . . . . . . . . 9 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
37 ltexpri 11083 . . . . . . . . 9 (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
3836, 37sylbi 217 . . . . . . . 8 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
39 enreceq 11106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥P ∧ 1PP) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
4032, 39mpanl2 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
41 addcompr 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧)
4241eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦))
4340, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4443ancoms 458 . . . . . . . . 9 (((𝑦P𝑧P) ∧ 𝑥P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4544rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4638, 45imbitrrid 246 . . . . . . 7 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8847 . . . . . 6 (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
49 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
5049, 14sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 ((𝐴R ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
5150ex 412 . . . . . 6 (𝐴R → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5251reximdv 3170 . . . . 5 (𝐴R → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5348, 52syld 47 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5416, 53sylbird 260 . . 3 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
553, 54mpcom 38 . 2 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
564mappsrpr 11148 . . . . 5 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑥P)
57 breq2 5147 . . . . 5 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5856, 57bitr3id 285 . . . 4 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝑥P ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5958biimpac 478 . . 3 ((𝑥P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6059rexlimiva 3147 . 2 (∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6155, 60impbii 209 1 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cop 4632   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  [cec 8743  Pcnp 10899  1Pc1p 10900   +P cpp 10901  <P cltp 10903   ~R cer 10904  Rcnr 10905  0Rc0r 10906  -1Rcm1r 10908   +R cplr 10909   ·R cmr 10910   <R cltr 10911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-plp 11023  df-mp 11024  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-plr 11097  df-mr 11098  df-ltr 11099  df-0r 11100  df-1r 11101  df-m1r 11102
This theorem is referenced by:  supsrlem  11151
  Copyright terms: Public domain W3C validator