MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11046
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11004 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
21brel 5697 . . . 4 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R𝐴R))
32simprd 496 . . 3 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴𝐴R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 𝐶R
5 ltasr 11036 . . . . . 6 (𝐶R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
7 pn0sr 11037 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R
98oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴)
10 addasssr 11024 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))
11 addcomsr 11023 . . . . . . . 8 (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2772 . . . . . . 7 (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R)
13 0idsr 11033 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
1412, 13eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
1514breq2d 5117 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
166, 15bitrid 282 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
17 m1r 11018 . . . . . . . 8 -1RR
18 mulclsr 11020 . . . . . . . 8 ((𝐶R ∧ -1RR) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
194, 17, 18mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐶 ·R -1R) ∈ R
20 addclsr 11019 . . . . . . 7 (((𝐶 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
2119, 20mpan 688 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
22 df-nr 10992 . . . . . . 7 R = ((P × P) / ~R )
23 breq2 5109 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
24 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2524rexbidv 3175 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
27 df-m1r 10998 . . . . . . . . . . 11 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2827breq1i 5112 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
29 addasspr 10958 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦))
3029breq2i 5113 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
31 ltsrpr 11013 . . . . . . . . . . 11 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦))
32 1pr 10951 . . . . . . . . . . . 12 1PP
33 ltapr 10981 . . . . . . . . . . . 12 (1PP → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
3530, 31, 343bitr4i 302 . . . . . . . . . 10 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
3628, 35bitri 274 . . . . . . . . 9 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
37 ltexpri 10979 . . . . . . . . 9 (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
39 enreceq 11002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥P ∧ 1PP) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
4032, 39mpanl2 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
41 addcompr 10957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧)
4241eqeq1i 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦))
4340, 42bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4443ancoms 459 . . . . . . . . 9 (((𝑦P𝑧P) ∧ 𝑥P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4544rexbidva 3173 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4638, 45syl5ibr 245 . . . . . . 7 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8746 . . . . . 6 (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
49 oveq2 7365 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
5049, 14sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 ((𝐴R ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
5150ex 413 . . . . . 6 (𝐴R → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5251reximdv 3167 . . . . 5 (𝐴R → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5348, 52syld 47 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5416, 53sylbird 259 . . 3 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
553, 54mpcom 38 . 2 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
564mappsrpr 11044 . . . . 5 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑥P)
57 breq2 5109 . . . . 5 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5856, 57bitr3id 284 . . . 4 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝑥P ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5958biimpac 479 . . 3 ((𝑥P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6059rexlimiva 3144 . 2 (∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6155, 60impbii 208 1 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cop 4592   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  [cec 8646  Pcnp 10795  1Pc1p 10796   +P cpp 10797  <P cltp 10799   ~R cer 10800  Rcnr 10801  0Rc0r 10802  -1Rcm1r 10804   +R cplr 10805   ·R cmr 10806   <R cltr 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-1p 10918  df-plp 10919  df-mp 10920  df-ltp 10921  df-enr 10991  df-nr 10992  df-plr 10993  df-mr 10994  df-ltr 10995  df-0r 10996  df-1r 10997  df-m1r 10998
This theorem is referenced by:  supsrlem  11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator