MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11102
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 ๐ถ โˆˆ R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11060 . . . . 5 <R โŠ† (R ร— R)
21brel 5740 . . . 4 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 497 . . 3 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ R
5 ltasr 11092 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
7 pn0sr 11093 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R
98oveq1i 7416 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (0R +R ๐ด)
10 addasssr 11080 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))
11 addcomsr 11079 . . . . . . . 8 (0R +R ๐ด) = (๐ด +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2769 . . . . . . 7 (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = (๐ด +R 0R)
13 0idsr 11089 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ด +R 0R) = ๐ด)
1412, 13eqtrid 2785 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = ๐ด)
1514breq2d 5160 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
166, 15bitrid 283 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
17 m1r 11074 . . . . . . . 8 -1R โˆˆ R
18 mulclsr 11076 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ R โˆง -1R โˆˆ R) โ†’ (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R)
194, 17, 18mp2an 691 . . . . . . 7 (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R
20 addclsr 11075 . . . . . . 7 (((๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R) โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
2119, 20mpan 689 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
22 df-nr 11048 . . . . . . 7 R = ((P ร— P) / ~R )
23 breq2 5152 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” -1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
24 eqeq2 2745 . . . . . . . . 9 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2524rexbidv 3179 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2623, 25imbi12d 345 . . . . . . 7 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ((-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ) โ†” (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
27 df-m1r 11054 . . . . . . . . . . 11 -1R = [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R
2827breq1i 5155 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R )
29 addasspr 11014 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) = (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))
3029breq2i 5156 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
31 ltsrpr 11069 . . . . . . . . . . 11 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ))
32 1pr 11007 . . . . . . . . . . . 12 1P โˆˆ P
33 ltapr 11037 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
3530, 31, 343bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
3628, 35bitri 275 . . . . . . . . 9 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
37 ltexpri 11035 . . . . . . . . 9 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
39 enreceq 11058 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4032, 39mpanl2 700 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
41 addcompr 11013 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +P ๐‘ง)
4241eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ))
4340, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4443ancoms 460 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4544rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4638, 45imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8798 . . . . . 6 (((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
49 oveq2 7414 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
5049, 14sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ R โˆง [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
5150ex 414 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5251reximdv 3171 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5348, 52syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5416, 53sylbird 260 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
553, 54mpcom 38 . 2 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
564mappsrpr 11100 . . . . 5 ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ P)
57 breq2 5152 . . . . 5 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5856, 57bitr3id 285 . . . 4 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ P โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5958biimpac 480 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด) โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6059rexlimiva 3148 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6155, 60impbii 208 1 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  [cec 8698  Pcnp 10851  1Pc1p 10852   +P cpp 10853  <P cltp 10855   ~R cer 10856  Rcnr 10857  0Rc0r 10858  -1Rcm1r 10860   +R cplr 10861   ยทR cmr 10862   <R cltr 10863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-ni 10864  df-pli 10865  df-mi 10866  df-lti 10867  df-plpq 10900  df-mpq 10901  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-erq 10905  df-plq 10906  df-mq 10907  df-1nq 10908  df-rq 10909  df-ltnq 10910  df-np 10973  df-1p 10974  df-plp 10975  df-mp 10976  df-ltp 10977  df-enr 11047  df-nr 11048  df-plr 11049  df-mr 11050  df-ltr 11051  df-0r 11052  df-1r 11053  df-m1r 11054
This theorem is referenced by:  supsrlem  11103
  Copyright terms: Public domain W3C validator