MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 10724
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 10682 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
21brel 5614 . . . 4 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R𝐴R))
32simprd 499 . . 3 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴𝐴R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 𝐶R
5 ltasr 10714 . . . . . 6 (𝐶R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
7 pn0sr 10715 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R
98oveq1i 7223 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴)
10 addasssr 10702 . . . . . . . 8 ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))
11 addcomsr 10701 . . . . . . . 8 (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2773 . . . . . . 7 (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R)
13 0idsr 10711 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
1412, 13eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
1514breq2d 5065 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
166, 15syl5bb 286 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
17 m1r 10696 . . . . . . . 8 -1RR
18 mulclsr 10698 . . . . . . . 8 ((𝐶R ∧ -1RR) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
194, 17, 18mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐶 ·R -1R) ∈ R
20 addclsr 10697 . . . . . . 7 (((𝐶 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
2119, 20mpan 690 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
22 df-nr 10670 . . . . . . 7 R = ((P × P) / ~R )
23 breq2 5057 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
24 eqeq2 2749 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2524rexbidv 3216 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
2623, 25imbi12d 348 . . . . . . 7 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
27 df-m1r 10676 . . . . . . . . . . 11 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2827breq1i 5060 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
29 addasspr 10636 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦))
3029breq2i 5061 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
31 ltsrpr 10691 . . . . . . . . . . 11 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦))
32 1pr 10629 . . . . . . . . . . . 12 1PP
33 ltapr 10659 . . . . . . . . . . . 12 (1PP → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦)))
3530, 31, 343bitr4i 306 . . . . . . . . . 10 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
3628, 35bitri 278 . . . . . . . . 9 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦))
37 ltexpri 10657 . . . . . . . . 9 (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
3836, 37sylbi 220 . . . . . . . 8 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
39 enreceq 10680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥P ∧ 1PP) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
4032, 39mpanl2 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
41 addcompr 10635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧)
4241eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦))
4340, 42bitr4di 292 . . . . . . . . . 10 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4443ancoms 462 . . . . . . . . 9 (((𝑦P𝑧P) ∧ 𝑥P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4544rexbidva 3215 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
4638, 45syl5ibr 249 . . . . . . 7 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8489 . . . . . 6 (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
49 oveq2 7221 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
5049, 14sylan9eqr 2800 . . . . . . 7 ((𝐴R ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
5150ex 416 . . . . . 6 (𝐴R → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5251reximdv 3192 . . . . 5 (𝐴R → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5348, 52syld 47 . . . 4 (𝐴R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
5416, 53sylbird 263 . . 3 (𝐴R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
553, 54mpcom 38 . 2 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
564mappsrpr 10722 . . . . 5 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑥P)
57 breq2 5057 . . . . 5 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5856, 57bitr3id 288 . . . 4 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝑥P ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
5958biimpac 482 . . 3 ((𝑥P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6059rexlimiva 3200 . 2 (∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6155, 60impbii 212 1 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  cop 4547   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  [cec 8389  Pcnp 10473  1Pc1p 10474   +P cpp 10475  <P cltp 10477   ~R cer 10478  Rcnr 10479  0Rc0r 10480  -1Rcm1r 10482   +R cplr 10483   ·R cmr 10484   <R cltr 10485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-mpq 10523  df-ltpq 10524  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-mq 10529  df-1nq 10530  df-rq 10531  df-ltnq 10532  df-np 10595  df-1p 10596  df-plp 10597  df-mp 10598  df-ltp 10599  df-enr 10669  df-nr 10670  df-plr 10671  df-mr 10672  df-ltr 10673  df-0r 10674  df-1r 10675  df-m1r 10676
This theorem is referenced by:  supsrlem  10725
  Copyright terms: Public domain W3C validator