MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11100
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 ๐ถ โˆˆ R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11058 . . . . 5 <R โІ (R ร— R)
21brel 5731 . . . 4 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 495 . . 3 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ R
5 ltasr 11090 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
7 pn0sr 11091 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R
98oveq1i 7411 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (0R +R ๐ด)
10 addasssr 11078 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))
11 addcomsr 11077 . . . . . . . 8 (0R +R ๐ด) = (๐ด +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2760 . . . . . . 7 (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = (๐ด +R 0R)
13 0idsr 11087 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ด +R 0R) = ๐ด)
1412, 13eqtrid 2776 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = ๐ด)
1514breq2d 5150 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
166, 15bitrid 283 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
17 m1r 11072 . . . . . . . 8 -1R โˆˆ R
18 mulclsr 11074 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ R โˆง -1R โˆˆ R) โ†’ (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R)
194, 17, 18mp2an 689 . . . . . . 7 (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R
20 addclsr 11073 . . . . . . 7 (((๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R) โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
2119, 20mpan 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
22 df-nr 11046 . . . . . . 7 R = ((P ร— P) / ~R )
23 breq2 5142 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” -1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
24 eqeq2 2736 . . . . . . . . 9 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2524rexbidv 3170 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ((-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ) โ†” (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
27 df-m1r 11052 . . . . . . . . . . 11 -1R = [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R
2827breq1i 5145 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R )
29 addasspr 11012 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) = (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))
3029breq2i 5146 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
31 ltsrpr 11067 . . . . . . . . . . 11 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ))
32 1pr 11005 . . . . . . . . . . . 12 1P โˆˆ P
33 ltapr 11035 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
3530, 31, 343bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
3628, 35bitri 275 . . . . . . . . 9 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
37 ltexpri 11033 . . . . . . . . 9 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
39 enreceq 11056 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4032, 39mpanl2 698 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
41 addcompr 11011 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +P ๐‘ง)
4241eqeq1i 2729 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ))
4340, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4443ancoms 458 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4544rexbidva 3168 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4638, 45imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8796 . . . . . 6 (((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
49 oveq2 7409 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
5049, 14sylan9eqr 2786 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ R โˆง [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
5150ex 412 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5251reximdv 3162 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5348, 52syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5416, 53sylbird 260 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
553, 54mpcom 38 . 2 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
564mappsrpr 11098 . . . . 5 ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ P)
57 breq2 5142 . . . . 5 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5856, 57bitr3id 285 . . . 4 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ P โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5958biimpac 478 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด) โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6059rexlimiva 3139 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6155, 60impbii 208 1 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062  โŸจcop 4626   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  [cec 8696  Pcnp 10849  1Pc1p 10850   +P cpp 10851  <P cltp 10853   ~R cer 10854  Rcnr 10855  0Rc0r 10856  -1Rcm1r 10858   +R cplr 10859   ยทR cmr 10860   <R cltr 10861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-ni 10862  df-pli 10863  df-mi 10864  df-lti 10865  df-plpq 10898  df-mpq 10899  df-ltpq 10900  df-enq 10901  df-nq 10902  df-erq 10903  df-plq 10904  df-mq 10905  df-1nq 10906  df-rq 10907  df-ltnq 10908  df-np 10971  df-1p 10972  df-plp 10973  df-mp 10974  df-ltp 10975  df-enr 11045  df-nr 11046  df-plr 11047  df-mr 11048  df-ltr 11049  df-0r 11050  df-1r 11051  df-m1r 11052
This theorem is referenced by:  supsrlem  11101
  Copyright terms: Public domain W3C validator