MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11107
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 ๐ถ โˆˆ R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11065 . . . . 5 <R โІ (R ร— R)
21brel 5740 . . . 4 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 494 . . 3 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ R
5 ltasr 11097 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
7 pn0sr 11098 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R
98oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (0R +R ๐ด)
10 addasssr 11085 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))
11 addcomsr 11084 . . . . . . . 8 (0R +R ๐ด) = (๐ด +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2766 . . . . . . 7 (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = (๐ด +R 0R)
13 0idsr 11094 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ด +R 0R) = ๐ด)
1412, 13eqtrid 2782 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = ๐ด)
1514breq2d 5159 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
166, 15bitrid 282 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
17 m1r 11079 . . . . . . . 8 -1R โˆˆ R
18 mulclsr 11081 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ R โˆง -1R โˆˆ R) โ†’ (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R)
194, 17, 18mp2an 688 . . . . . . 7 (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R
20 addclsr 11080 . . . . . . 7 (((๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R) โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
2119, 20mpan 686 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
22 df-nr 11053 . . . . . . 7 R = ((P ร— P) / ~R )
23 breq2 5151 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” -1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
24 eqeq2 2742 . . . . . . . . 9 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2524rexbidv 3176 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2623, 25imbi12d 343 . . . . . . 7 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ((-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ) โ†” (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
27 df-m1r 11059 . . . . . . . . . . 11 -1R = [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R
2827breq1i 5154 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R )
29 addasspr 11019 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) = (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))
3029breq2i 5155 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
31 ltsrpr 11074 . . . . . . . . . . 11 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ))
32 1pr 11012 . . . . . . . . . . . 12 1P โˆˆ P
33 ltapr 11042 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
3530, 31, 343bitr4i 302 . . . . . . . . . 10 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
3628, 35bitri 274 . . . . . . . . 9 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
37 ltexpri 11040 . . . . . . . . 9 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
39 enreceq 11063 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4032, 39mpanl2 697 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
41 addcompr 11018 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +P ๐‘ง)
4241eqeq1i 2735 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ))
4340, 42bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4443ancoms 457 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4544rexbidva 3174 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4638, 45imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8803 . . . . . 6 (((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
49 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
5049, 14sylan9eqr 2792 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ R โˆง [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
5150ex 411 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5251reximdv 3168 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5348, 52syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5416, 53sylbird 259 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
553, 54mpcom 38 . 2 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
564mappsrpr 11105 . . . . 5 ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ P)
57 breq2 5151 . . . . 5 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5856, 57bitr3id 284 . . . 4 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ P โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5958biimpac 477 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด) โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6059rexlimiva 3145 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6155, 60impbii 208 1 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  โŸจcop 4633   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  [cec 8703  Pcnp 10856  1Pc1p 10857   +P cpp 10858  <P cltp 10860   ~R cer 10861  Rcnr 10862  0Rc0r 10863  -1Rcm1r 10865   +R cplr 10866   ยทR cmr 10867   <R cltr 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-1p 10979  df-plp 10980  df-mp 10981  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-plr 11054  df-mr 11055  df-ltr 11056  df-0r 11057  df-1r 11058  df-m1r 11059
This theorem is referenced by:  supsrlem  11108
  Copyright terms: Public domain W3C validator