MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2psrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2psrpr 11109
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
map2psrpr.2 ๐ถ โˆˆ R
Assertion
Ref Expression
map2psrpr ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ

Proof of Theorem map2psrpr
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11067 . . . . 5 <R โІ (R ร— R)
21brel 5741 . . . 4 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 495 . . 3 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
4 map2psrpr.2 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ R
5 ltasr 11099 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
7 pn0sr 11100 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) = 0R
98oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (0R +R ๐ด)
10 addasssr 11087 . . . . . . . 8 ((๐ถ +R (๐ถ ยทR -1R)) +R ๐ด) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))
11 addcomsr 11086 . . . . . . . 8 (0R +R ๐ด) = (๐ด +R 0R)
129, 10, 113eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = (๐ด +R 0R)
13 0idsr 11096 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ด +R 0R) = ๐ด)
1412, 13eqtrid 2783 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) = ๐ด)
1514breq2d 5160 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
166, 15bitrid 283 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
17 m1r 11081 . . . . . . . 8 -1R โˆˆ R
18 mulclsr 11083 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ R โˆง -1R โˆˆ R) โ†’ (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R)
194, 17, 18mp2an 689 . . . . . . 7 (๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R
20 addclsr 11082 . . . . . . 7 (((๐ถ ยทR -1R) โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R) โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
2119, 20mpan 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R)
22 df-nr 11055 . . . . . . 7 R = ((P ร— P) / ~R )
23 breq2 5152 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” -1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
24 eqeq2 2743 . . . . . . . . 9 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2524rexbidv 3177 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ ((-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ) โ†” (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด))))
27 df-m1r 11061 . . . . . . . . . . 11 -1R = [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R
2827breq1i 5155 . . . . . . . . . 10 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R )
29 addasspr 11021 . . . . . . . . . . . 12 ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) = (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))
3029breq2i 5156 . . . . . . . . . . 11 ((1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
31 ltsrpr 11076 . . . . . . . . . . 11 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (1P +P ๐‘ง)<P ((1P +P 1P) +P ๐‘ฆ))
32 1pr 11014 . . . . . . . . . . . 12 1P โˆˆ P
33 ltapr 11044 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ))))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (1P +P ๐‘ง)<P (1P +P (1P +P ๐‘ฆ)))
3530, 31, 343bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ([โŸจ1P, (1P +P 1P)โŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
3628, 35bitri 275 . . . . . . . . 9 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ))
37 ltexpri 11042 . . . . . . . . 9 (๐‘ง<P (1P +P ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ))
39 enreceq 11065 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4032, 39mpanl2 698 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ)))
41 addcompr 11020 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +P ๐‘ง)
4241eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ง) = (1P +P ๐‘ฆ))
4340, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4443ancoms 458 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4544rexbidva 3175 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐‘ง +P ๐‘ฅ) = (1P +P ๐‘ฆ)))
4638, 45imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (-1R <R [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = [โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~R ))
4722, 26, 46ecoptocl 8805 . . . . . 6 (((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
4821, 47syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
49 oveq2 7420 . . . . . . . 8 ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = (๐ถ +R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)))
5049, 14sylan9eqr 2793 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ R โˆง [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด)) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
5150ex 412 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ R โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5251reximdv 3169 . . . . 5 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R = ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5348, 52syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ R โ†’ (-1R <R ((๐ถ ยทR -1R) +R ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
5416, 53sylbird 260 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด))
553, 54mpcom 38 . 2 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
564mappsrpr 11107 . . . . 5 ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ P)
57 breq2 5152 . . . . 5 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ ((๐ถ +R -1R) <R (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5856, 57bitr3id 285 . . . 4 ((๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ P โ†” (๐ถ +R -1R) <R ๐ด))
5958biimpac 478 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด) โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6059rexlimiva 3146 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด โ†’ (๐ถ +R -1R) <R ๐ด)
6155, 60impbii 208 1 ((๐ถ +R -1R) <R ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P (๐ถ +R [โŸจ๐‘ฅ, 1PโŸฉ] ~R ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  [cec 8705  Pcnp 10858  1Pc1p 10859   +P cpp 10860  <P cltp 10862   ~R cer 10863  Rcnr 10864  0Rc0r 10865  -1Rcm1r 10867   +R cplr 10868   ยทR cmr 10869   <R cltr 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-ni 10871  df-pli 10872  df-mi 10873  df-lti 10874  df-plpq 10907  df-mpq 10908  df-ltpq 10909  df-enq 10910  df-nq 10911  df-erq 10912  df-plq 10913  df-mq 10914  df-1nq 10915  df-rq 10916  df-ltnq 10917  df-np 10980  df-1p 10981  df-plp 10982  df-mp 10983  df-ltp 10984  df-enr 11054  df-nr 11055  df-plr 11056  df-mr 11057  df-ltr 11058  df-0r 11059  df-1r 11060  df-m1r 11061
This theorem is referenced by:  supsrlem  11110
  Copyright terms: Public domain W3C validator