Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  i0oii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i0oii 48715
Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
i0oii (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anandi3r 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
2 rexr 11304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3 lerelxr 11321 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
43brel 5753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
54simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≤ 1 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 1xr 11317 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
7 xrltletr 13195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 𝑥 < 1))
8 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
983adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
107, 9syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
116, 10mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
122, 5, 11syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
1312imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ 1)) → 𝑥 ≤ 1)
141, 13sylbi 217 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
15143com12 1122 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
16153expib 1121 . . . . . . 7 (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1))
1716pm4.71d 561 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
1817anbi1d 631 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
19 3anan32 1096 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥))
20 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
2120anbi2i 623 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
22 anandi 676 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
23 3anass 1094 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
24 3anan32 1096 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
25 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
2623, 24, 253bitr3ri 302 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
2721, 22, 263bitr2i 299 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
2818, 19, 273bitr4g 314 . . . 4 (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
29 0re 11260 . . . . 5 0 ∈ ℝ
30 elico2 13447 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
3129, 5, 30sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
32 elin 3978 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
33 elicc01 13502 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3433anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
3532, 34bitri 275 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
36 elioomnf 13480 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
375, 36syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
3837anbi1d 631 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
3935, 38bitrid 283 . . . 4 (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
4028, 31, 393bitr4rd 312 . . 3 (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (0[,)𝐴)))
4140eqrdv 2732 . 2 (𝐴 ≤ 1 → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42 fvex 6919 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ V
43 ovex 7463 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
44 iooretop 24801 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
45 elrestr 17474 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
4642, 43, 44, 45mp3an 1460 . . 3 ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
47 dfii2 24921 . . 3 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4846, 47eleqtrri 2837 . 2 ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4941, 48eqeltrrdi 2847 1 (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961   class class class wbr 5147  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  t crest 17466  topGenctg 17483  IIcii 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-ii 24916
This theorem is referenced by:  sepfsepc  48723
  Copyright terms: Public domain W3C validator