Theorem i0oii 50176

Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
i0oii	⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi3r 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
2		rexr 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		lerelxr 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
5	4	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		1xr 11381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		xrltletr 13299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 < 1))
8		xrltle 13291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
9	8	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
10	7, 9	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
11	6, 10	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
12	2, 5, 11	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
13	12	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → 𝑥 ≤ 1)
14	1, 13	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
15	14	3com12 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
16	15	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1))
17	16	pm4.71d 571	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
19		3anan32 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥))
20		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21	20	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22		anandi 689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
23		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
24		3anan32 1113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
25		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3ri 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 302	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
28	18, 19, 27	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
29		0re 11323	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		elico2 13554	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
31	29, 5, 30	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
32		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
33		elicc01 13610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
34	33	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
35	32, 34	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
36		elioomnf 13588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
37	5, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
38	37	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
39	35, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
40	28, 31, 39	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (0[,)𝐴)))
41	40	eqrdv 2761	. 2 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42		fvex 6909	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
43		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
44		iooretop 25099	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
45		elrestr 17614	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
46	42, 43, 44, 45	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
47		dfii2 25218	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
48	46, 47	eleqtrri 2863	. 2 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
49	41, 48	eqeltrrdi 2873	1 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214  -∞cmnf 11354  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357  (,)cioo 13489  [,)cico 13491  [,]cicc 13492   ↾_t crest 17606  topGenctg 17623  IIcii 25211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-rest 17608  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-ii 25213

This theorem is used by:  sepfsepc  50184