Theorem i0oii 46101

Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
i0oii	⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi3r 1101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
2		rexr 10952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		lerelxr 10969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		1xr 10965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		xrltletr 12820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 < 1))
8		xrltle 12812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
9	8	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
10	7, 9	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
11	6, 10	mp3an3 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
12	2, 5, 11	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
13	12	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → 𝑥 ≤ 1)
14	1, 13	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
15	14	3com12 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
16	15	3expib 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1))
17	16	pm4.71d 561	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
19		3anan32 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥))
20		3anass 1093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21	20	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22		anandi 672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
23		3anass 1093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
24		3anan32 1095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
25		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3ri 301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 298	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
28	18, 19, 27	3bitr4g 313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
29		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		elico2 13072	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
31	29, 5, 30	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
32		elin 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
33		elicc01 13127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
34	33	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
35	32, 34	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
36		elioomnf 13105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
37	5, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
38	37	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
39	35, 38	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
40	28, 31, 39	3bitr4rd 311	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (0[,)𝐴)))
41	40	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
43		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
44		iooretop 23835	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
45		elrestr 17056	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
46	42, 43, 44, 45	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
47		dfii2 23951	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
48	46, 47	eleqtrri 2838	. 2 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
49	41, 48	eqeltrrdi 2848	1 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  [,]cicc 13011   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  IIcii 23944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-ii 23946

This theorem is referenced by:  sepfsepc  46109