Theorem i0oii 49186

Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
i0oii	⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi3r 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
2		rexr 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		lerelxr 11197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		1xr 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		xrltletr 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 < 1))
8		xrltle 13065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
9	8	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
10	7, 9	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
11	6, 10	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
12	2, 5, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
13	12	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → 𝑥 ≤ 1)
14	1, 13	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
15	14	3com12 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
16	15	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1))
17	16	pm4.71d 561	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
19		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥))
20		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21	20	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22		anandi 676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
23		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
24		3anan32 1096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
25		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3ri 302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
28	18, 19, 27	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
29		0re 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		elico2 13328	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
31	29, 5, 30	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
32		elin 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
33		elicc01 13384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
34	33	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
35	32, 34	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
36		elioomnf 13362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
37	5, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
38	37	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
39	35, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
40	28, 31, 39	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (0[,)𝐴)))
41	40	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
43		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
44		iooretop 24711	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
45		elrestr 17350	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
46	42, 43, 44, 45	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
47		dfii2 24833	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
48	46, 47	eleqtrri 2835	. 2 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
49	41, 48	eqeltrrdi 2845	1 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13263  [,)cico 13265  [,]cicc 13266   ↾_t crest 17342  topGenctg 17359  IIcii 24826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-ii 24828

This theorem is referenced by:  sepfsepc  49194