Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  i0oii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i0oii 47552
Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
i0oii (𝐴 ≀ 1 β†’ (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anandi3r 1104 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 1 ∧ π‘₯ < 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 1) ∧ (π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
2 rexr 11260 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
3 lerelxr 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 ≀ βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
43brel 5742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≀ 1 β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
54simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≀ 1 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
6 1xr 11273 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
7 xrltletr 13136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ π‘₯ < 1))
8 xrltle 13128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ < 1 β†’ π‘₯ ≀ 1))
983adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ < 1 β†’ π‘₯ ≀ 1))
107, 9syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ π‘₯ ≀ 1))
116, 10mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ π‘₯ ≀ 1))
122, 5, 11syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ ((π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ π‘₯ ≀ 1))
1312imp 408 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 1) ∧ (π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)) β†’ π‘₯ ≀ 1)
141, 13sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 1 ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ 1)
15143com12 1124 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≀ 1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ 1)
16153expib 1123 . . . . . . 7 (𝐴 ≀ 1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ 1))
1716pm4.71d 563 . . . . . 6 (𝐴 ≀ 1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ 1)))
1817anbi1d 631 . . . . 5 (𝐴 ≀ 1 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ 1) ∧ 0 ≀ π‘₯)))
19 3anan32 1098 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ 0 ≀ π‘₯))
20 3anass 1096 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
2120anbi2i 624 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
22 anandi 675 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ < 𝐴 ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
23 3anass 1096 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
24 3anan32 1098 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ 1) ∧ 0 ≀ π‘₯))
25 anass 470 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ < 𝐴 ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
2623, 24, 253bitr3ri 302 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ < 𝐴 ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ 1) ∧ 0 ≀ π‘₯))
2721, 22, 263bitr2i 299 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ 1) ∧ 0 ≀ π‘₯))
2818, 19, 273bitr4g 314 . . . 4 (𝐴 ≀ 1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
29 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
30 elico2 13388 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴)))
3129, 5, 30sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ≀ 1 β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴)))
32 elin 3965 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)))
33 elicc01 13443 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))
3433anbi2i 624 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
3532, 34bitri 275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
36 elioomnf 13421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴)))
375, 36syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ≀ 1 β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴)))
3837anbi1d 631 . . . . 5 (𝐴 ≀ 1 β†’ ((π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3935, 38bitrid 283 . . . 4 (𝐴 ≀ 1 β†’ (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
4028, 31, 393bitr4rd 312 . . 3 (𝐴 ≀ 1 β†’ (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ π‘₯ ∈ (0[,)𝐴)))
4140eqrdv 2731 . 2 (𝐴 ≀ 1 β†’ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42 fvex 6905 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
43 ovex 7442 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
44 iooretop 24282 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
45 elrestr 17374 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1)))
4642, 43, 44, 45mp3an 1462 . . 3 ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
47 dfii2 24398 . . 3 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
4846, 47eleqtrri 2833 . 2 ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4941, 48eqeltrrdi 2843 1 (𝐴 ≀ 1 β†’ (0[,)𝐴) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  IIcii 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-ii 24393
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47560
  Copyright terms: Public domain W3C validator