Theorem i0oii 46213

Description: (0[,)𝐴) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
i0oii	⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Proof of Theorem i0oii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi3r 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
2		rexr 11021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		lerelxr 11038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
5	4	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		1xr 11034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		xrltletr 12891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 < 1))
8		xrltle 12883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
9	8	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 1 → 𝑥 ≤ 1))
10	7, 9	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
11	6, 10	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
12	2, 5, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1))
13	12	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → 𝑥 ≤ 1)
14	1, 13	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
15	14	3com12 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1)
16	15	3expib 1121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ≤ 1))
17	16	pm4.71d 562	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
19		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥))
20		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21	20	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22		anandi 673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
23		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
24		3anan32 1096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
25		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3ri 302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝐴 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 𝑥))
28	18, 19, 27	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
29		0re 10977	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		elico2 13143	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
31	29, 5, 30	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (0[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
32		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
33		elicc01 13198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
34	33	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
35	32, 34	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
36		elioomnf 13176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
37	5, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
38	37	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
39	35, 38	syl5bb 283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
40	28, 31, 39	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (0[,)𝐴)))
41	40	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) = (0[,)𝐴))
42		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
43		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
44		iooretop 23929	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
45		elrestr 17139	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
46	42, 43, 44, 45	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
47		dfii2 24045	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
48	46, 47	eleqtrri 2838	. 2 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∩ (0[,]1)) ∈ II
49	41, 48	eqeltrrdi 2848	1 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0[,)𝐴) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  [,]cicc 13082   ↾_t crest 17131  topGenctg 17148  IIcii 24038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-ii 24040

This theorem is referenced by:  sepfsepc  46221