Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  io1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem io1ii 47801
Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
io1ii (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11260 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2 lerelxr 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ≀ βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
32brel 5732 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≀ 𝐴 β†’ (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
43simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (0 ≀ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 rexr 11259 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 13136 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 < π‘₯))
7 xrltle 13129 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
873adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
96, 8syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
101, 4, 5, 9mp3an3an 1463 . . . . . . . . . 10 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1110imp 406 . . . . . . . . 9 (((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
12113impdi 1347 . . . . . . . 8 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯)
13123expib 1119 . . . . . . 7 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1413pm4.71d 561 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯)))
1514anbi1d 629 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1)))
16 df-3an 1086 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
17 3anass 1092 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
1817anbi2i 622 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
19 anandi 673 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
20 anass 468 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
21 anass 468 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
2220, 21bitr2i 276 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2318, 19, 223bitr2i 299 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2415, 16, 233bitr4g 314 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
25 1re 11213 . . . . 5 1 ∈ ℝ
26 elioc2 13388 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
274, 25, 26sylancl 585 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
28 elin 3957 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)))
29 elicc01 13444 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))
3029anbi2i 622 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
3128, 30bitri 275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
32 elioopnf 13421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
334, 32syl 17 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
3433anbi1d 629 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3531, 34bitrid 283 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3624, 27, 353bitr4rd 312 . . 3 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(,]1)))
3736eqrdv 2722 . 2 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38 fvex 6895 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
39 ovex 7435 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
40 iooretop 24626 . . . 4 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 elrestr 17379 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1)))
4238, 39, 40, 41mp3an 1457 . . 3 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
43 dfii2 24746 . . 3 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
4442, 43eleqtrri 2824 . 2 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4537, 44eqeltrrdi 2834 1 (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   class class class wbr 5139  ran crn 5668  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,)cioo 13325  (,]cioc 13326  [,]cicc 13328   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  IIcii 24739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-icc 13332  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-ii 24741
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47808
  Copyright terms: Public domain W3C validator