Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  io1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem io1ii 47715
Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
io1ii (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11268 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2 lerelxr 11284 . . . . . . . . . . . . 13 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
32brel 5741 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*))
43simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ*)
5 rexr 11267 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 13142 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7 xrltle 13135 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
873adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
96, 8syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
101, 4, 5, 9mp3an3an 1466 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ 𝐴𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
1110imp 406 . . . . . . . . 9 (((0 ≤ 𝐴𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12113impdi 1349 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13123expib 1121 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
1413pm4.71d 561 . . . . . 6 (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
1514anbi1d 629 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
1817anbi2i 622 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
19 anandi 673 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
20 anass 468 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
21 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
2220, 21bitr2i 276 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
2318, 19, 223bitr2i 299 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
2415, 16, 233bitr4g 314 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
25 1re 11221 . . . . 5 1 ∈ ℝ
26 elioc2 13394 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ 1)))
274, 25, 26sylancl 585 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ 1)))
28 elin 3964 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29 elicc01 13450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3029anbi2i 622 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
3128, 30bitri 275 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)))
32 elioopnf 13427 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
334, 32syl 17 . . . . . 6 (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
3433anbi1d 629 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
3531, 34bitrid 283 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))))
3624, 27, 353bitr4rd 312 . . 3 (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
3736eqrdv 2729 . 2 (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38 fvex 6904 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ V
39 ovex 7445 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
40 iooretop 24602 . . . 4 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41 elrestr 17381 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
4238, 39, 40, 41mp3an 1460 . . 3 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43 dfii2 24722 . . 3 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4442, 43eleqtrri 2831 . 2 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4537, 44eqeltrrdi 2841 1 (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,]cicc 13334  t crest 17373  topGenctg 17390  IIcii 24715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-icc 13338  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-ii 24717
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47722
  Copyright terms: Public domain W3C validator