Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  io1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem io1ii 47027
Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
io1ii (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2 lerelxr 11225 . . . . . . . . . . . . 13 ≀ βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
32brel 5702 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≀ 𝐴 β†’ (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
43simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (0 ≀ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 rexr 11208 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 13082 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 < π‘₯))
7 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
873adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
96, 8syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
101, 4, 5, 9mp3an3an 1468 . . . . . . . . . 10 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1110imp 408 . . . . . . . . 9 (((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
12113impdi 1351 . . . . . . . 8 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯)
13123expib 1123 . . . . . . 7 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1413pm4.71d 563 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯)))
1514anbi1d 631 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1)))
16 df-3an 1090 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
17 3anass 1096 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
1817anbi2i 624 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
19 anandi 675 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
20 anass 470 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
21 anass 470 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
2220, 21bitr2i 276 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2318, 19, 223bitr2i 299 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2415, 16, 233bitr4g 314 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
25 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
26 elioc2 13334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
274, 25, 26sylancl 587 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
28 elin 3931 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)))
29 elicc01 13390 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))
3029anbi2i 624 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
3128, 30bitri 275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
32 elioopnf 13367 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
334, 32syl 17 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
3433anbi1d 631 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3531, 34bitrid 283 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3624, 27, 353bitr4rd 312 . . 3 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(,]1)))
3736eqrdv 2735 . 2 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38 fvex 6860 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
39 ovex 7395 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
40 iooretop 24145 . . . 4 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 elrestr 17317 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1)))
4238, 39, 40, 41mp3an 1462 . . 3 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
43 dfii2 24261 . . 3 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
4442, 43eleqtrri 2837 . 2 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4537, 44eqeltrrdi 2847 1 (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   class class class wbr 5110  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,]cicc 13274   β†Ύt crest 17309  topGenctg 17326  IIcii 24254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-icc 13278  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-ii 24256
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47034
  Copyright terms: Public domain W3C validator