Theorem io1ii 49162

Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
io1ii	⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		lerelxr 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3	2	brel 5689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4	3	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7		xrltle 13063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
8	7	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
9	6, 8	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
10	1, 4, 5, 9	mp3an3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
11	10	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12	11	3impdi 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13	12	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
14	13	pm4.71d 561	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
15	14	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
19		anandi 676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
20		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22	20, 21	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
23	18, 19, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
24	15, 16, 23	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
25		1re 11132	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		elioc2 13325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
27	4, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
28		elin 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29		elicc01 13382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
31	28, 30	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
32		elioopnf 13359	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
34	33	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
35	31, 34	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
36	24, 27, 35	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
37	36	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
39		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
40		iooretop 24709	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41		elrestr 17348	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
42	38, 39, 40, 41	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43		dfii2 24831	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
44	42, 43	eleqtrri 2835	. 2 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
45	37, 44	eqeltrrdi 2845	1 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  (,)cioo 13261  (,]cioc 13262  [,]cicc 13264   ↾_t crest 17340  topGenctg 17357  IIcii 24824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-rest 17342  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-ii 24826

This theorem is referenced by:  sepfsepc  49169