Theorem io1ii 49855

Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
io1ii	⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		lerelxr 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3	2	brel 5724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4	3	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7		xrltle 13204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
8	7	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
9	6, 8	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
10	1, 4, 5, 9	mp3an3an 1496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
11	10	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12	11	3impdi 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13	12	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
14	13	pm4.71d 571	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
15	14	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
19		anandi 689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
20		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22	20, 21	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
23	18, 19, 22	3bitr2i 302	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
24	15, 16, 23	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
25		1re 11236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		elioc2 13466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
27	4, 25, 26	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
28		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29		elicc01 13523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
30	29	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
31	28, 30	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
32		elioopnf 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
33	4, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
34	33	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
35	31, 34	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
36	24, 27, 35	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
37	36	eqrdv 2760	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
39		ovex 7450	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
40		iooretop 24997	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41		elrestr 17519	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
42	38, 39, 40, 41	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43		dfii2 25116	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
44	42, 43	eleqtrri 2861	. 2 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
45	37, 44	eqeltrrdi 2871	1 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,)cioo 13402  (,]cioc 13403  [,]cicc 13405   ↾_t crest 17511  topGenctg 17528  IIcii 25109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-icc 13409  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-ii 25111

This theorem is used by:  sepfsepc  49862