Theorem io1ii 46214

Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
io1ii	⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		lerelxr 11038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3	2	brel 5652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4	3	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 11021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 12890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7		xrltle 12883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
8	7	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
9	6, 8	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
10	1, 4, 5, 9	mp3an3an 1466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
11	10	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12	11	3impdi 1349	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13	12	3expib 1121	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
14	13	pm4.71d 562	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
15	14	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
19		anandi 673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
20		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22	20, 21	bitr2i 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
23	18, 19, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
24	15, 16, 23	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
25		1re 10975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		elioc2 13142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
27	4, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
28		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29		elicc01 13198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
31	28, 30	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
32		elioopnf 13175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
34	33	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
35	31, 34	syl5bb 283	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
36	24, 27, 35	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
37	36	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
39		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
40		iooretop 23929	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41		elrestr 17139	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
42	38, 39, 40, 41	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43		dfii2 24045	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
44	42, 43	eleqtrri 2838	. 2 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
45	37, 44	eqeltrrdi 2848	1 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,)cioo 13079  (,]cioc 13080  [,]cicc 13082   ↾_t crest 17131  topGenctg 17148  IIcii 24038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-icc 13086  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-ii 24040

This theorem is referenced by:  sepfsepc  46221