Theorem io1ii 47715

Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
io1ii	⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		lerelxr 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3	2	brel 5741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4	3	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7		xrltle 13135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
8	7	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
9	6, 8	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
10	1, 4, 5, 9	mp3an3an 1466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
11	10	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12	11	3impdi 1349	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13	12	3expib 1121	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
14	13	pm4.71d 561	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
15	14	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
19		anandi 673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
20		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22	20, 21	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
23	18, 19, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
24	15, 16, 23	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
25		1re 11221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		elioc2 13394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
27	4, 25, 26	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
28		elin 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29		elicc01 13450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
30	29	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
31	28, 30	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
32		elioopnf 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
34	33	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
35	31, 34	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
36	24, 27, 35	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
37	36	eqrdv 2729	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
39		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
40		iooretop 24602	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41		elrestr 17381	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
42	38, 39, 40, 41	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43		dfii2 24722	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
44	42, 43	eleqtrri 2831	. 2 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
45	37, 44	eqeltrrdi 2841	1 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  +∞cpnf 11252  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,]cicc 13334   ↾_t crest 17373  topGenctg 17390  IIcii 24715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-icc 13338  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-ii 24717

This theorem is referenced by:  sepfsepc  47722