Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  io1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem io1ii 47939
Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
io1ii (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11292 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2 lerelxr 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ≀ βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
32brel 5743 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≀ 𝐴 β†’ (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
43simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (0 ≀ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 rexr 11291 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 13168 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 < π‘₯))
7 xrltle 13161 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
873adant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (0 < π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
96, 8syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
101, 4, 5, 9mp3an3an 1464 . . . . . . . . . 10 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1110imp 406 . . . . . . . . 9 (((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
12113impdi 1348 . . . . . . . 8 ((0 ≀ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯)
13123expib 1120 . . . . . . 7 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
1413pm4.71d 561 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯)))
1514anbi1d 630 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1)))
16 df-3an 1087 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
17 3anass 1093 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
1817anbi2i 622 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
19 anandi 675 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
20 anass 468 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
21 anass 468 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
2220, 21bitr2i 276 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2318, 19, 223bitr2i 299 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ≀ 1))
2415, 16, 233bitr4g 314 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
25 1re 11245 . . . . 5 1 ∈ ℝ
26 elioc2 13420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
274, 25, 26sylancl 585 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
28 elin 3963 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)))
29 elicc01 13476 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))
3029anbi2i 622 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
3128, 30bitri 275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)))
32 elioopnf 13453 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
334, 32syl 17 . . . . . 6 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯)))
3433anbi1d 630 . . . . 5 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3531, 34bitrid 283 . . . 4 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 1))))
3624, 27, 353bitr4rd 312 . . 3 (0 ≀ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(,]1)))
3736eqrdv 2726 . 2 (0 ≀ 𝐴 β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38 fvex 6910 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
39 ovex 7453 . . . 4 (0[,]1) ∈ V
40 iooretop 24695 . . . 4 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 elrestr 17410 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1)))
4238, 39, 40, 41mp3an 1458 . . 3 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
43 dfii2 24815 . . 3 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
4442, 43eleqtrri 2828 . 2 ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
4537, 44eqeltrrdi 2838 1 (0 ≀ 𝐴 β†’ (𝐴(,]1) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   class class class wbr 5148  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  +∞cpnf 11276  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  (,)cioo 13357  (,]cioc 13358  [,]cicc 13360   β†Ύt crest 17402  topGenctg 17419  IIcii 24808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-icc 13364  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-ii 24810
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47946
  Copyright terms: Public domain W3C validator