Theorem io1ii 49045

Description: (𝐴(,]1) is open in II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
io1ii	⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Proof of Theorem io1ii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		lerelxr 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3	2	brel 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4	3	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
7		xrltle 13050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
8	7	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
9	6, 8	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
10	1, 4, 5, 9	mp3an3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
11	10	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
12	11	3impdi 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥)
13	12	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
14	13	pm4.71d 561	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
15	14	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1)))
16		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
17		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
18	17	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
19		anandi 676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
20		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
21		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
22	20, 21	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
23	18, 19, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ 1))
24	15, 16, 23	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
25		1re 11119	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		elioc2 13311	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
27	4, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
28		elin 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)))
29		elicc01 13368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
31	28, 30	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)))
32		elioopnf 13345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
34	33	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
35	31, 34	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))))
36	24, 27, 35	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,]1)))
37	36	eqrdv 2731	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) = (𝐴(,]1))
38		fvex 6841	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
39		ovex 7385	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
40		iooretop 24681	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
41		elrestr 17334	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
42	38, 39, 40, 41	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
43		dfii2 24803	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
44	42, 43	eleqtrri 2832	. 2 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ∩ (0[,]1)) ∈ II
45	37, 44	eqeltrrdi 2842	1 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴(,]1) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   class class class wbr 5093  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  (,)cioo 13247  (,]cioc 13248  [,]cicc 13250   ↾_t crest 17326  topGenctg 17343  IIcii 24796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-icc 13254  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-rest 17328  df-topgen 17349  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-ii 24798

This theorem is referenced by:  sepfsepc  49052