Theorem supexpr 10968

Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supexpr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplem1pr 10966	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∪ 𝐴 ∈ P)
2		ltrelpr 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 5683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P))
4	3	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ∈ P)
5	4	ralimi 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
6		dfss3 3904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
7	5, 6	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
8	7	rexlimivw 3136	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴 ⊆ P)
10		suplem2pr 10967	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
11	10	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
12	11	ralrimiv 3130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦)
13	10	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
14	13	ralrimivw 3135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
15	12, 14	jca 516	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17		breq1 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 ↔ ∪ 𝐴<P 𝑦))
18	17	notbid 319	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
19	18	ralbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
20		breq2 5076	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦<P ∪ 𝐴))
21	20	imbi1d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
22	21	ralbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 638	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))))
24	23	rspcev 3560	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ P ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
25	1, 16, 24	syl2anc 590	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072  Pcnp 10773  <_P cltp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ni 10786  df-mi 10788  df-lti 10789  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-ltnq 10832  df-np 10895  df-ltp 10899

This theorem is referenced by:  supsrlem  11025