Theorem supexpr 10741

Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supexpr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplem1pr 10739	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∪ 𝐴 ∈ P)
2		ltrelpr 10685	. . . . . . . . 9 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ∈ P)
5	4	ralimi 3086	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
6		dfss3 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
7	5, 6	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
8	7	rexlimivw 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴 ⊆ P)
10		suplem2pr 10740	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
12	11	ralrimiv 3106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦)
13	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
14	13	ralrimivw 3108	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
15	12, 14	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 ↔ ∪ 𝐴<P 𝑦))
18	17	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
19	18	ralbidv 3120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
20		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦<P ∪ 𝐴))
21	20	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
22	21	ralbidv 3120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))))
24	23	rspcev 3552	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ P ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
25	1, 16, 24	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  Pcnp 10546  <_P cltp 10550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-mi 10561  df-lti 10562  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-ltp 10672

This theorem is referenced by:  supsrlem  10798