Theorem supexpr 10945

Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supexpr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplem1pr 10943	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∪ 𝐴 ∈ P)
2		ltrelpr 10889	. . . . . . . . 9 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ∈ P)
5	4	ralimi 3069	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
6		dfss3 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
8	7	rexlimivw 3129	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴 ⊆ P)
10		suplem2pr 10944	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
12	11	ralrimiv 3123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦)
13	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
14	13	ralrimivw 3128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ P → ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))
15	12, 14	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ P → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17		breq1 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 ↔ ∪ 𝐴<P 𝑦))
18	17	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
19	18	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦))
20		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦<P ∪ 𝐴))
21	20	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
22	21	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))))
24	23	rspcev 3572	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ P ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∪ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P ∪ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))
25	1, 16, 24	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥 ∈ P (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  Pcnp 10750  <_P cltp 10754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ni 10763  df-mi 10765  df-lti 10766  df-ltpq 10801  df-enq 10802  df-nq 10803  df-ltnq 10809  df-np 10872  df-ltp 10876

This theorem is referenced by:  supsrlem  11002