MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supexpr 11091
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 11089 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
2 ltrelpr 11035 . . . . . . . . 9 <P ⊆ (P × P)
32brel 5753 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
43simpld 494 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
54ralimi 3080 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦P)
6 dfss3 3983 . . . . . 6 (𝐴P ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦P)
75, 6sylibr 234 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
87rexlimivw 3148 . . . 4 (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
98adantl 481 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
10 suplem2pr 11090 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
1110simpld 494 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦))
1211ralrimiv 3142 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦)
1310simprd 495 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1413ralrimivw 3147 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1512, 14jca 511 . . 3 (𝐴P → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
169, 15syl 17 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 𝐴<P 𝑦))
1817notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ 𝐴<P 𝑦))
1918ralbidv 3175 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦))
20 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦<P 𝑥𝑦<P 𝐴))
2120imbi1d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2221ralbidv 3175 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2319, 22anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))))
2423rspcev 3621 . 2 (( 𝐴P ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
251, 16, 24syl2anc 584 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   cuni 4911   class class class wbr 5147  Pcnp 10896  <P cltp 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-mi 10911  df-lti 10912  df-ltpq 10947  df-enq 10948  df-nq 10949  df-ltnq 10955  df-np 11018  df-ltp 11022
This theorem is referenced by:  supsrlem  11148
  Copyright terms: Public domain W3C validator