MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supexpr 11036
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 11034 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
2 ltrelpr 10980 . . . . . . . . 9 <P ⊆ (P × P)
32brel 5736 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
43simpld 496 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
54ralimi 3084 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦P)
6 dfss3 3968 . . . . . 6 (𝐴P ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦P)
75, 6sylibr 233 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
87rexlimivw 3152 . . . 4 (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
98adantl 483 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
10 suplem2pr 11035 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
1110simpld 496 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦))
1211ralrimiv 3146 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦)
1310simprd 497 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1413ralrimivw 3151 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1512, 14jca 513 . . 3 (𝐴P → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
169, 15syl 17 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17 breq1 5147 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 𝐴<P 𝑦))
1817notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ 𝐴<P 𝑦))
1918ralbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦))
20 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦<P 𝑥𝑦<P 𝐴))
2120imbi1d 342 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2221ralbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2319, 22anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))))
2423rspcev 3611 . 2 (( 𝐴P ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
251, 16, 24syl2anc 585 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3946  c0 4320   cuni 4904   class class class wbr 5144  Pcnp 10841  <P cltp 10845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-ni 10854  df-mi 10856  df-lti 10857  df-ltpq 10892  df-enq 10893  df-nq 10894  df-ltnq 10900  df-np 10963  df-ltp 10967
This theorem is referenced by:  supsrlem  11093
  Copyright terms: Public domain W3C validator