Theorem addgt0sr 10860

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 10824	. . . . 5 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 5652	. . . 4 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3		ltasr 10856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
4		0idsr 10853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
5	4	breq1d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
6	3, 5	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
7	2, 6	simpl2im 504	. . 3 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
8	7	biimpa 477	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
9		ltsosr 10850	. . 3 ⊢ <R Or R
10	9, 1	sotri 6032	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
11	8, 10	syldan 591	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Rcnr 10621  0_Rc0r 10622   +_R cplr 10625   <_R cltr 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738  df-plp 10739  df-ltp 10741  df-enr 10811  df-nr 10812  df-plr 10813  df-ltr 10815  df-0r 10816

This theorem is referenced by: (None)