Theorem addgt0sr 10127

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 10091	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 5306	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 483	. . . 4 ⊢ (0R <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4		ltasr 10123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
5		0idsr 10120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
6	5	breq1d 4796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
7	4, 6	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
8	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
9	8	biimpa 462	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
10		ltsosr 10117	. . 3 ⊢ <R Or R
11	10, 1	sotri 5662	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
12	9, 11	syldan 579	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  Rcnr 9889  0_Rc0r 9890   +_R cplr 9893   <_R cltr 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-ni 9896  df-pli 9897  df-mi 9898  df-lti 9899  df-plpq 9932  df-mpq 9933  df-ltpq 9934  df-enq 9935  df-nq 9936  df-erq 9937  df-plq 9938  df-mq 9939  df-1nq 9940  df-rq 9941  df-ltnq 9942  df-np 10005  df-1p 10006  df-plp 10007  df-ltp 10009  df-enr 10079  df-nr 10080  df-plr 10081  df-ltr 10083  df-0r 10084

This theorem is referenced by: (None)