Theorem addgt0sr 11145

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 11109	. . . . 5 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 5749	. . . 4 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3		ltasr 11141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
4		0idsr 11138	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
5	4	breq1d 5152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
6	3, 5	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
7	2, 6	simpl2im 503	. . 3 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵 ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
8	7	biimpa 476	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
9		ltsosr 11135	. . 3 ⊢ <R Or R
10	9, 1	sotri 6146	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
11	8, 10	syldan 591	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  Rcnr 10906  0_Rc0r 10907   +_R cplr 10910   <_R cltr 10912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-ni 10913  df-pli 10914  df-mi 10915  df-lti 10916  df-plpq 10949  df-mpq 10950  df-ltpq 10951  df-enq 10952  df-nq 10953  df-erq 10954  df-plq 10955  df-mq 10956  df-1nq 10957  df-rq 10958  df-ltnq 10959  df-np 11022  df-1p 11023  df-plp 11024  df-ltp 11026  df-enr 11096  df-nr 11097  df-plr 11098  df-ltr 11100  df-0r 11101

This theorem is referenced by: (None)