MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addgt0sr 11137
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 11101 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
21brel 5747 . . . 4 (0R <R 𝐴 → (0RR𝐴R))
3 ltasr 11133 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
4 0idsr 11130 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
54breq1d 5162 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
63, 5bitrd 278 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
72, 6simpl2im 502 . . 3 (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
87biimpa 475 . 2 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
9 ltsosr 11127 . . 3 <R Or R
109, 1sotri 6138 . 2 ((0R <R 𝐴𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
118, 10syldan 589 1 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  Rcnr 10898  0Rc0r 10899   +R cplr 10902   <R cltr 10904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-ni 10905  df-pli 10906  df-mi 10907  df-lti 10908  df-plpq 10941  df-mpq 10942  df-ltpq 10943  df-enq 10944  df-nq 10945  df-erq 10946  df-plq 10947  df-mq 10948  df-1nq 10949  df-rq 10950  df-ltnq 10951  df-np 11014  df-1p 11015  df-plp 11016  df-ltp 11018  df-enr 11088  df-nr 11089  df-plr 11090  df-ltr 11092  df-0r 11093
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator