MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addgt0sr 10210
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 10174 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
21brel 5368 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → (0RR𝐴R))
32simprd 485 . . . 4 (0R <R 𝐴𝐴R)
4 ltasr 10206 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
5 0idsr 10203 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
65breq1d 4854 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
74, 6bitrd 270 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
83, 7syl 17 . . 3 (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
98biimpa 464 . 2 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
10 ltsosr 10200 . . 3 <R Or R
1110, 1sotri 5734 . 2 ((0R <R 𝐴𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
129, 11syldan 581 1 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2156   class class class wbr 4844  (class class class)co 6874  Rcnr 9972  0Rc0r 9973   +R cplr 9976   <R cltr 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-ec 7981  df-qs 7985  df-ni 9979  df-pli 9980  df-mi 9981  df-lti 9982  df-plpq 10015  df-mpq 10016  df-ltpq 10017  df-enq 10018  df-nq 10019  df-erq 10020  df-plq 10021  df-mq 10022  df-1nq 10023  df-rq 10024  df-ltnq 10025  df-np 10088  df-1p 10089  df-plp 10090  df-ltp 10092  df-enr 10162  df-nr 10163  df-plr 10164  df-ltr 10166  df-0r 10167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator