Theorem brmptiunrelexpd 41662

Description: If two elements are connected by an indexed union of relational powers, then they are connected via 𝑛 instances the relation, for some 𝑛. Generalization of dfrtrclrec2 14869. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
brmptiunrelexpd.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
brmptiunrelexpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
brmptiunrelexpd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
brmptiunrelexpd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)

Proof of Theorem brmptiunrelexpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brmptiunrelexpd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		brmptiunrelexpd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
3		nn0ex 12345	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	ssex 5270	. . 3 ⊢ (𝑁 ⊆ ℕ0 → 𝑁 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
6		brmptiunrelexpd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
7	6	briunov2 41661	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
8	1, 5, 7	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071  Vcvv 3442   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℕ₀cn0 12339  ↑_𝑟crelexp 14830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-1cn 11035  ax-addcl 11037

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-ov 7345  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-nn 12080  df-n0 12340

This theorem is referenced by:  brfvidRP  41667  brfvrcld  41670  brfvtrcld  41700  brfvrtrcld  41713