Theorem brmptiunrelexpd 43641

Description: If two elements are connected by an indexed union of relational powers, then they are connected via 𝑛 instances the relation, for some 𝑛. Generalization of dfrtrclrec2 15080. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
brmptiunrelexpd.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
brmptiunrelexpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
brmptiunrelexpd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
brmptiunrelexpd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)

Proof of Theorem brmptiunrelexpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brmptiunrelexpd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		brmptiunrelexpd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
3		nn0ex 12516	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	ssex 5303	. . 3 ⊢ (𝑁 ⊆ ℕ0 → 𝑁 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
6		brmptiunrelexpd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
7	6	briunov2 43640	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
8	1, 5, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  Vcvv 3464   ⊆ wss 3933  ∪ ciun 4973   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℕ₀cn0 12510  ↑_𝑟crelexp 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-nn 12250  df-n0 12511

This theorem is referenced by:  brfvidRP  43646  brfvrcld  43649  brfvtrcld  43679  brfvrtrcld  43692