Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brmptiunrelexpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brmptiunrelexpd 40216
Description: If two elements are connected by an indexed union of relational powers, then they are connected via 𝑛 instances the relation, for some 𝑛. Generalization of dfrtrclrec2 14405. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
brmptiunrelexpd.c 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
brmptiunrelexpd.r (𝜑𝑅 ∈ V)
brmptiunrelexpd.n (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
brmptiunrelexpd (𝜑 → (𝐴(𝐶𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑁 𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)

Proof of Theorem brmptiunrelexpd
StepHypRef Expression
1 brmptiunrelexpd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
2 brmptiunrelexpd.n . . 3 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
3 nn0ex 11889 . . . 4 0 ∈ V
43ssex 5206 . . 3 (𝑁 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ V)
52, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ V)
6 brmptiunrelexpd.c . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
76briunov2 40215 . 2 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐴(𝐶𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑁 𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
81, 5, 7syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴(𝐶𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑁 𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3133  Vcvv 3479  wss 3918   ciun 4900   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  0cn0 11883  𝑟crelexp 14368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-1cn 10580  ax-addcl 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11624  df-n0 11884
This theorem is referenced by:  brfvidRP  40221  brfvrcld  40224  brfvtrcld  40254  brfvrtrcld  40267
  Copyright terms: Public domain W3C validator