Theorem brmptiunrelexpd 43961

Description: If two elements are connected by an indexed union of relational powers, then they are connected via 𝑛 instances the relation, for some 𝑛. Generalization of dfrtrclrec2 14983. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
brmptiunrelexpd.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
brmptiunrelexpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
brmptiunrelexpd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
brmptiunrelexpd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)

Proof of Theorem brmptiunrelexpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brmptiunrelexpd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		brmptiunrelexpd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
3		nn0ex 12409	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	ssex 5265	. . 3 ⊢ (𝑁 ⊆ ℕ0 → 𝑁 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
6		brmptiunrelexpd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
7	6	briunov2 43960	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
8	1, 5, 7	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4945   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℕ₀cn0 12403  ↑_𝑟crelexp 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148  df-n0 12404

This theorem is referenced by:  brfvidRP  43966  brfvrcld  43969  brfvtrcld  43999  brfvrtrcld  44012