Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brfvrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfvrcld 43704
Description: If two elements are connected by the reflexive closure of a relation, then they are connected via zero or one instances the relation. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
brfvrcld.r (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
brfvrcld (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))

Proof of Theorem brfvrcld
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 43689 . . 3 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
2 brfvrcld.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
3 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
5 prssi 4821 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
63, 4, 5mp2an 692 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℕ0
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
81, 2, 7brmptiunrelexpd 43696 . 2 (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
9 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟0))
109breqd 5154 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟0)𝐵))
11 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
1211breqd 5154 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
1310, 12rexprg 4697 . . 3 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))
143, 4, 13mp2an 692 . 2 (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
158, 14bitrdi 287 1 (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  0cn0 12526  𝑟crelexp 15058  r*crcl 43685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059  df-rcl 43686
This theorem is referenced by:  brfvrcld2  43705
  Copyright terms: Public domain W3C validator