Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brfvrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfvrcld 38825
 Description: If two elements are connected by the reflexive closure of a relation, then they are connected via zero or one instances the relation. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
brfvrcld.r (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
brfvrcld (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))

Proof of Theorem brfvrcld
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 38810 . . 3 r* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟𝑟𝑛))
2 brfvrcld.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
3 0nn0 11636 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4 1nn0 11637 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
5 prssi 4571 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
63, 4, 5mp2an 685 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℕ0
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
81, 2, 7brmptiunrelexpd 38817 . 2 (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
9 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟0))
109breqd 4885 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟0)𝐵))
11 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
1211breqd 4885 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
1310, 12rexprg 4455 . . 3 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))
143, 4, 13mp2an 685 . 2 (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
158, 14syl6bb 279 1 (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅𝑟0)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3119  Vcvv 3415   ⊆ wss 3799  {cpr 4400   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254  ℕ0cn0 11619  ↑𝑟crelexp 14138  r*crcl 38806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-seq 13097  df-relexp 14139  df-rcl 38807 This theorem is referenced by:  brfvrcld2  38826
 Copyright terms: Public domain W3C validator