Theorem brfvidRP 44306

Description: If two elements are connected by a value of the identity relation, then they are connected via the argument. This is an example which uses brmptiunrelexpd 44301. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
brfvidRP.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
brfvidRP	⊢ (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐵))

Proof of Theorem brfvidRP

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfid6 15065	. . 3 ⊢ I = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {1} (𝑟↑𝑟𝑛))
2		brfvidRP.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
3		1nn0 12520	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → {1} ⊆ ℕ0)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ ℕ0)
6	1, 2, 5	brmptiunrelexpd 44301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
7		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
8	7	breqd 5124	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵))
9	8	rexsng 4647	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵))
10	3, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵))
11	2	relexp1d 15066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
12	11	breqd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
13	6, 10, 12	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113   I cid 5556  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  ℕ₀cn0 12504  ↑_𝑟crelexp 15056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-relexp 15057

This theorem is referenced by: (None)