Theorem caragenfiiuncl 46073

Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenfiiuncl.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenfiiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 5016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5070	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
4	1, 3	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	4	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
6		caragenfiiuncl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		caragenfiiuncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
8	6, 7	caragen0 46064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
10	5, 9	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12		neqne 2937	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14		caragenfiiuncl.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ≠ ∅
16	14, 15	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅)
17		caragenfiiuncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	6	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
21		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	19, 7, 20, 21	caragenuncl 46071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
23	22	3adant1r 1174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
24		caragenfiiuncl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27	16, 18, 23, 25, 26	fiiuncl 44603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
28	11, 13, 27	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
29	10, 28	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∪ cun 3944  ∅c0 4324  ∪ ciun 5000  ‘cfv 6553  Fincfn 8973  OutMeascome 46047  CaraGenccaragen 46049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-xadd 13142  df-icc 13380  df-ome 46048  df-caragen 46050

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46079  carageniuncllem2  46080