Theorem caragenfiiuncl 46796

Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenfiiuncl.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenfiiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4962	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5017	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
4	1, 3	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
6		caragenfiiuncl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		caragenfiiuncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
8	6, 7	caragen0 46787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
10	5, 9	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12		neqne 2939	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14		caragenfiiuncl.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ≠ ∅
16	14, 15	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅)
17		caragenfiiuncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	6	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
21		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	19, 7, 20, 21	caragenuncl 46794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
23	22	3adant1r 1179	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
24		caragenfiiuncl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27	16, 18, 23, 25, 26	fiiuncl 45347	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
28	11, 13, 27	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
29	10, 28	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931   ∪ cun 3898  ∅c0 4284  ∪ ciun 4945  ‘cfv 6491  Fincfn 8885  OutMeascome 46770  CaraGenccaragen 46772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-xadd 13029  df-icc 13270  df-ome 46771  df-caragen 46773

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46802  carageniuncllem2  46803