Theorem caragenfiiuncl 46516

Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenfiiuncl.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenfiiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5012	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
4	1, 3	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
6		caragenfiiuncl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		caragenfiiuncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
8	6, 7	caragen0 46507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
10	5, 9	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12		neqne 2933	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14		caragenfiiuncl.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ≠ ∅
16	14, 15	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅)
17		caragenfiiuncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
21		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	19, 7, 20, 21	caragenuncl 46514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
23	22	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
24		caragenfiiuncl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27	16, 18, 23, 25, 26	fiiuncl 45063	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
28	11, 13, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
29	10, 28	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3901  ∅c0 4284  ∪ ciun 4941  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  OutMeascome 46490  CaraGenccaragen 46492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-xadd 13015  df-icc 13255  df-ome 46491  df-caragen 46493

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46522  carageniuncllem2  46523