Theorem caragenfiiuncl 47199

Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenfiiuncl.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenfiiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5026	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
4	1, 3	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
6		caragenfiiuncl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		caragenfiiuncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
8	6, 7	caragen0 47190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
10	5, 9	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12		neqne 2964	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14		caragenfiiuncl.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ≠ ∅
16	14, 15	nfan 1927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅)
17		caragenfiiuncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	6	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
21		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	19, 7, 20, 21	caragenuncl 47197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
23	22	3adant1r 1194	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
24		caragenfiiuncl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27	16, 18, 23, 25, 26	fiiuncl 45755	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
28	11, 13, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
29	10, 28	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568  Ⅎwnf 1811   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∪ cun 3902  ∅c0 4285  ∪ ciun 4955  ‘cfv 6536  Fincfn 8942  OutMeascome 47173  CaraGenccaragen 47175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-xadd 13137  df-icc 13378  df-ome 47174  df-caragen 47176

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  47205  carageniuncllem2  47206