Theorem caragenfiiuncl 46506

Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenfiiuncl.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenfiiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5022	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
4	1, 3	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
6		caragenfiiuncl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		caragenfiiuncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
8	6, 7	caragen0 46497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
10	5, 9	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12		neqne 2933	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14		caragenfiiuncl.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ≠ ∅
16	14, 15	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅)
17		caragenfiiuncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
21		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	19, 7, 20, 21	caragenuncl 46504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
23	22	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝑆)
24		caragenfiiuncl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27	16, 18, 23, 25, 26	fiiuncl 45052	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
28	11, 13, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
29	10, 28	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3909  ∅c0 4292  ∪ ciun 4951  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  OutMeascome 46480  CaraGenccaragen 46482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-xadd 13049  df-icc 13289  df-ome 46481  df-caragen 46483

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46512  carageniuncllem2  46513