Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenfiiuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenfiiuncl 46073
Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenfiiuncl.kph 𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenfiiuncl (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 5016 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑘𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 5070 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
41, 3eqtrd 2765 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝑘𝐴 𝐵 = ∅)
54adantl 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵 = ∅)
6 caragenfiiuncl.o . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 caragenfiiuncl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
86, 7caragen0 46064 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
105, 9eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
11 simpl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12 neqne 2937 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14 caragenfiiuncl.kph . . . . 5 𝑘𝜑
15 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝐴 ≠ ∅
1614, 15nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑𝐴 ≠ ∅)
17 caragenfiiuncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1817adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1963ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
21 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2219, 7, 20, 21caragenuncl 46071 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1174 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
24 caragenfiiuncl.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2524adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
2716, 18, 23, 25, 26fiiuncl 44603 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
2811, 13, 27syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
2910, 28pm2.61dan 811 1 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2929  cun 3944  c0 4324   ciun 5000  cfv 6553  Fincfn 8973  OutMeascome 46047  CaraGenccaragen 46049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-xadd 13142  df-icc 13380  df-ome 46048  df-caragen 46050
This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46079  carageniuncllem2  46080
  Copyright terms: Public domain W3C validator