Theorem cardennn 9812

Description: If 𝐴 is equinumerous to a natural number, then that number is its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardennn	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem cardennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carden2b 9796	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (card‘𝐴) = (card‘𝐵))
2		cardnn 9792	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3	1, 2	sylan9eq 2797	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  ωcom 7757   ≈ cen 8778  cardccrd 9764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-om 7758  df-1o 8344  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-card 9768

This theorem is referenced by:  dif1card  9839  fz1isolem  14247  unidifsnel  30991  unidifsnne  30992