Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unidifsnne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unidifsnne 32242
Description: The other element of a pair is not the known element. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
unidifsnne ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)

Proof of Theorem unidifsnne
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 8637 . . . . . . . . . 10 2o ∈ Ο‰
2 nnfi 9163 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
4 enfi 9186 . . . . . . . . 9 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
53, 4mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ 𝑃 ∈ Fin)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑃 ∈ Fin)
7 diffi 9175 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Fin β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
98cardidd 10540 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) β‰ˆ (𝑃 βˆ– {𝑋}))
109ensymd 8997 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
11 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
12 dif1card 10001 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
136, 11, 12syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
14 cardennn 9974 . . . . . . . . 9 ((𝑃 β‰ˆ 2o ∧ 2o ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = 2o)
151, 14mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = 2o)
16 df-2o 8462 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
1715, 16eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc 1o)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc 1o)
1913, 18eqtr3d 2766 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = suc 1o)
20 suc11reg 9610 . . . . 5 (suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = suc 1o ↔ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = 1o)
2119, 20sylib 217 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = 1o)
2210, 21breqtrd 5164 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ 1o)
23 en1 9017 . . 3 ((𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ 1o ↔ βˆƒπ‘₯(𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
2422, 23sylib 217 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆƒπ‘₯(𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
25 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2625elexd 3487 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ V)
27 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
28 sneqbg 4836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ({𝑋} = {π‘₯} ↔ 𝑋 = π‘₯))
2928biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = {π‘₯})
3029ad4ant14 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = {π‘₯})
3127, 30eqtr4d 2767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {𝑋})
3231ineq2d 4204 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ ({𝑋} ∩ (𝑃 βˆ– {𝑋})) = ({𝑋} ∩ {𝑋}))
33 disjdif 4463 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∩ (𝑃 βˆ– {𝑋})) = βˆ…
34 inidm 4210 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∩ {𝑋}) = {𝑋}
3532, 33, 343eqtr3g 2787 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ βˆ… = {𝑋})
3635eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = βˆ…)
37 snprc 4713 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = βˆ…)
3836, 37sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ V)
3926, 38pm2.65da 814 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘₯)
4039neqned 2939 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ 𝑋 β‰  π‘₯)
41 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
4241unieqd 4912 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = βˆͺ {π‘₯})
43 unisnv 4921 . . . . 5 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
4442, 43eqtrdi 2780 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = π‘₯)
4540, 44neeqtrrd 3007 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ 𝑋 β‰  βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}))
4645necomd 2988 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)
4724, 46exlimddv 1930 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939  βˆ…c0 4314  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138  suc csuc 6356  β€˜cfv 6533  Ο‰com 7848  1oc1o 8454  2oc2o 8455   β‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-reg 9583  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-ac 10107
This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32778
  Copyright terms: Public domain W3C validator