Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unidifsnne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unidifsnne 32037
Description: The other element of a pair is not the known element. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
unidifsnne ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)

Proof of Theorem unidifsnne
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 8644 . . . . . . . . . 10 2o ∈ Ο‰
2 nnfi 9170 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
4 enfi 9193 . . . . . . . . 9 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
53, 4mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ 𝑃 ∈ Fin)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑃 ∈ Fin)
7 diffi 9182 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Fin β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
98cardidd 10547 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) β‰ˆ (𝑃 βˆ– {𝑋}))
109ensymd 9004 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
11 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
12 dif1card 10008 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
136, 11, 12syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})))
14 cardennn 9981 . . . . . . . . 9 ((𝑃 β‰ˆ 2o ∧ 2o ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = 2o)
151, 14mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = 2o)
16 df-2o 8470 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
1715, 16eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑃 β‰ˆ 2o β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc 1o)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜π‘ƒ) = suc 1o)
1913, 18eqtr3d 2773 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = suc 1o)
20 suc11reg 9617 . . . . 5 (suc (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = suc 1o ↔ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = 1o)
2119, 20sylib 217 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (cardβ€˜(𝑃 βˆ– {𝑋})) = 1o)
2210, 21breqtrd 5175 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ 1o)
23 en1 9024 . . 3 ((𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ 1o ↔ βˆƒπ‘₯(𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
2422, 23sylib 217 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆƒπ‘₯(𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
25 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2625elexd 3494 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ V)
27 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
28 sneqbg 4845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ({𝑋} = {π‘₯} ↔ 𝑋 = π‘₯))
2928biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = {π‘₯})
3029ad4ant14 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = {π‘₯})
3127, 30eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {𝑋})
3231ineq2d 4213 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ ({𝑋} ∩ (𝑃 βˆ– {𝑋})) = ({𝑋} ∩ {𝑋}))
33 disjdif 4472 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∩ (𝑃 βˆ– {𝑋})) = βˆ…
34 inidm 4219 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∩ {𝑋}) = {𝑋}
3532, 33, 343eqtr3g 2794 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ βˆ… = {𝑋})
3635eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ {𝑋} = βˆ…)
37 snprc 4722 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = βˆ…)
3836, 37sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) ∧ 𝑋 = π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ V)
3926, 38pm2.65da 814 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘₯)
4039neqned 2946 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ 𝑋 β‰  π‘₯)
41 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯})
4241unieqd 4923 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = βˆͺ {π‘₯})
43 unisnv 4932 . . . . 5 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
4442, 43eqtrdi 2787 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = π‘₯)
4540, 44neeqtrrd 3014 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ 𝑋 β‰  βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}))
4645necomd 2995 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑃 βˆ– {𝑋}) = {π‘₯}) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)
4724, 46exlimddv 1937 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ (𝑃 βˆ– {𝑋}) β‰  𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7858  1oc1o 8462  2oc2o 8463   β‰ˆ cen 8939  Fincfn 8942  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-reg 9590  ax-ac2 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-ac 10114
This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32577
  Copyright terms: Public domain W3C validator