Theorem cardidg 10538

Description: Any set is equinumerous to its cardinal number. Closed theorem form of cardid 10537. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cardidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem cardidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3485	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
2		cardeqv 10459	. . . 4 ⊢ dom card = V
3	2	eleq2i 2817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐴 ∈ V)
4		cardid2 9943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylbir 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ‘cfv 6533   ≈ cen 8931  cardccrd 9925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-ac2 10453

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-en 8935  df-card 9929  df-ac 10106

This theorem is referenced by:  cardidd  10539  tskcard  10771  tskuni  10773