Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlema2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlema2N 38967
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 9-May-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlema2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlema2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlema2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlema2.z 0 = (0.β€˜πΎ)
cdlema2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlema2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑅 ∧ 𝑋) = 0 )
Proof of Theorem cdlema2N
StepHypRef Expression
1 simp3ll 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
2 simp3rl 1245 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
3 simp3rr 1246 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)
4 simp3lr 1244 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
52, 3, 43jca 1127 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6 cdlema2.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlema2.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlema2.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlema2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9exatleN 38579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ≀ 𝑋 ↔ 𝑅 = 𝑃))
115, 10syld3an3 1408 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑅 ≀ 𝑋 ↔ 𝑅 = 𝑃))
1211necon3bbid 2977 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋 ↔ 𝑅 β‰  𝑃))
131, 12mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋)
14 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 hlatl 38534 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
17 simp23 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
18 simp1r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 cdlema2.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
20 cdlema2.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
216, 7, 19, 20, 9atnle 38491 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋 ↔ (𝑅 ∧ 𝑋) = 0 ))
2216, 17, 18, 21syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋 ↔ (𝑅 ∧ 𝑋) = 0 ))
2313, 22mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑅 ∧ 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  0.cp0 18381  Atomscatm 38437  AtLatcal 38438  HLchlt 38524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator