Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr32snb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr32snb 37646
 Description: Show closure of ⦋𝑅 / 𝑠⦌𝑁. (Contributed by NM, 28-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr27.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemefr27.l = (le‘𝐾)
cdlemefr27.j = (join‘𝐾)
cdlemefr27.m = (meet‘𝐾)
cdlemefr27.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemefr27.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemefr27.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemefr27.c 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdlemefr27.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr32snb ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅 / 𝑠𝑁𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑈,𝑠   𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝐻(𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdlemefr32snb
StepHypRef Expression
1 cdlemefr27.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemefr27.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemefr27.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cdlemefr27.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
5 cdlemefr27.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemefr27.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemefr27.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdlemefr27.c . . . 4 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
9 cdlemefr27.n . . . 4 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdlemefr32sn2aw 37645 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝑅 / 𝑠𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑅 / 𝑠𝑁 𝑊))
1110simpld 498 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅 / 𝑠𝑁𝐴)
121, 5atbase 36530 . 2 (𝑅 / 𝑠𝑁𝐴𝑅 / 𝑠𝑁𝐵)
1311, 12syl 17 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅 / 𝑠𝑁𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ⦋csb 3866  ifcif 4450   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  LHypclh 37225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229 This theorem is referenced by:  cdlemefr29clN  37648  cdlemefr32fvaN  37650  cdlemefr32fva1  37651
 Copyright terms: Public domain W3C validator