Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46bOLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeg46bOLDN 38831
Description: TODO FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef46g.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef46g.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef46g.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef46g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemef46.g 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46bOLDN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∨ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ≀ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∧ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑒,𝑦,𝑧,𝑁   π‘₯,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑑   𝑒,𝑉   π‘₯,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑒,𝑑,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐸(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐺(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑑,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdlemeg46bOLDN
StepHypRef Expression
1 cdlemef46g.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemef46g.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemef46g.j . 2 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemef46g.m . 2 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemef46g.a . 2 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemef46g.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemef46.v . 2 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
8 cdlemef46.n . 2 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
9 cdlemefs46.o . 2 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
10 cdlemef46.g . 2 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemeg47b 38827 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3843  ifcif 4474   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5176  β€˜cfv 6480  β„©crio 7293  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  lecple 17067  joincjn 18127  meetcmee 18128  Atomscatm 37581  HLchlt 37668  LHypclh 38303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-p1 18242  df-lat 18248  df-clat 18315  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-lines 37820  df-psubsp 37822  df-pmap 37823  df-padd 38115  df-lhyp 38307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator