Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeg46c 39897
Description: TODO FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef46g.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef46g.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef46g.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef46g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemef46.g 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ⦋𝑆 / π‘£β¦Œβ¦‹π‘ / π‘‘β¦Œπ·)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∨ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ≀ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∧ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑒,𝑦,𝑧,𝑁   π‘₯,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑑   𝑒,𝑉   π‘₯,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑒,𝑑,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐸(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐺(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑑,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdlemeg46c
StepHypRef Expression
1 cdlemef46g.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemef46g.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemef46g.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemef46g.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemef46g.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemef46g.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemef46.v . . . 4 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
8 cdlemef46.n . . . 4 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
9 cdlemefs46.o . . . 4 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
10 cdlemef46.g . . . 4 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemeg47b 39892 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘)
1211csbeq1d 3892 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋(πΊβ€˜π‘†) / π‘‘β¦Œπ· = ⦋⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘ / π‘‘β¦Œπ·)
13 simp1 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
14 simp2l 1196 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
15 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simp13 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
17 simp12 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
18 simp2r 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme46fvaw 39885 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
2015, 16, 17, 18, 19syl31anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
213, 5cdleme46f2g2 39877 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme46frvlpq 39888 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑄 ∨ 𝑃))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑄 ∨ 𝑃))
24 simp11l 1281 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
26 simp13l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
273, 5hlatjcom 38751 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
2928breq2d 5153 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)))
3023, 29mtbird 325 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
31 cdlemef46g.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
32 cdlemef46g.d . . . 4 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
33 cdlemef46g.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 31, 32, 33cdlemefr45 39811 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ⦋(πΊβ€˜π‘†) / π‘‘β¦Œπ·)
3513, 14, 20, 30, 34syl121anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ⦋(πΊβ€˜π‘†) / π‘‘β¦Œπ·)
36 simp2rl 1239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
37 csbnestgw 4416 . . 3 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ ⦋𝑆 / π‘£β¦Œβ¦‹π‘ / π‘‘β¦Œπ· = ⦋⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘ / π‘‘β¦Œπ·)
3836, 37syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑆 / π‘£β¦Œβ¦‹π‘ / π‘‘β¦Œπ· = ⦋⦋𝑆 / π‘£β¦Œπ‘ / π‘‘β¦Œπ·)
3912, 35, 383eqtr4d 2776 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ⦋𝑆 / π‘£β¦Œβ¦‹π‘ / π‘‘β¦Œπ·)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  β¦‹csb 3888  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdlemeg46ngfr  39902
  Copyright terms: Public domain W3C validator