MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winafp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winafp 10691
Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winafp ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 winalim2 10690 . 2 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3 limelon 6421 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
42, 3mpan 687 . . . . . . . 8 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
5 alephle 10082 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (Lim 𝑥𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
76ad2antll 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
97, 8sseqtrd 4017 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥𝐴)
108fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11 alephsing 10270 . . . . . . . . 9 (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1211ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1310, 12eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14 elwina 10680 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑦𝑧))
1514simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1713, 16eqtr3d 2768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18 cfle 10248 . . . . . 6 (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
1917, 18eqsstrrdi 4032 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴𝑥)
209, 19eqssd 3994 . . . 4 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
2120fveq2d 6888 . . 3 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
2221, 8eqtr3d 2768 . 2 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
231, 22exlimddv 1930 1 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  cfv 6536  ωcom 7851  csdm 8937  cale 9930  cfccf 9931  Inaccwcwina 10676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-smo 8344  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933  df-aleph 9934  df-cf 9935  df-acn 9936  df-wina 10678
This theorem is referenced by:  winafpi  10692
  Copyright terms: Public domain W3C validator