MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winafp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winafp 9965
Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winafp ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 winalim2 9964 . 2 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2 vex 3440 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3 limelon 6129 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
42, 3mpan 686 . . . . . . . 8 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
5 alephle 9360 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (Lim 𝑥𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
76ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8 simprl 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
97, 8sseqtrd 3928 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥𝐴)
108fveq2d 6542 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11 alephsing 9544 . . . . . . . . 9 (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1211ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1310, 12eqtr3d 2833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14 elwina 9954 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑦𝑧))
1514simp2bi 1139 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1615ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1713, 16eqtr3d 2833 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18 cfle 9522 . . . . . 6 (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
1917, 18syl6eqssr 3943 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴𝑥)
209, 19eqssd 3906 . . . 4 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
2120fveq2d 6542 . . 3 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
2221, 8eqtr3d 2833 . 2 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
231, 22exlimddv 1913 1 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  wss 3859  c0 4211   class class class wbr 4962  Oncon0 6066  Lim wlim 6067  cfv 6225  ωcom 7436  csdm 8356  cale 9211  cfccf 9212  Inaccwcwina 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-smo 7835  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-oi 8820  df-har 8868  df-card 9214  df-aleph 9215  df-cf 9216  df-acn 9217  df-wina 9952
This theorem is referenced by:  winafpi  9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator