Theorem winafp 10611

Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winafp	⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winalim2 10610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2		vex 3435	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		limelon 6375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4	2, 3	mpan 696	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5		alephle 10001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
7	6	ad2antll 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
9	7, 8	sseqtrd 3951	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	8	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11		alephsing 10189	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
12	11	ad2antll 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
13	10, 12	eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14		elwina 10600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≺ 𝑧))
15	14	simp2bi 1152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
16	15	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
17	13, 16	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18		cfle 10167	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
19	17, 18	eqsstrrdi 3960	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	9, 19	eqssd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
21	20	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
22	21, 8	eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
23	1, 22	exlimddv 1942	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  Oncon0 6310  Lim wlim 6311  ‘cfv 6485  ωcom 7806   ≺ csdm 8882  ℵcale 9851  cfccf 9852  Inacc_wcwina 10596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-har 9462  df-card 9854  df-aleph 9855  df-cf 9856  df-acn 9857  df-wina 10598

This theorem is referenced by:  winafpi  10612