MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winafp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winafp 10640
Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winafp ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 winalim2 10639 . 2 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3 limelon 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
42, 3mpan 689 . . . . . . . 8 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
5 alephle 10031 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (Lim 𝑥𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
76ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
97, 8sseqtrd 3989 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥𝐴)
108fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11 alephsing 10219 . . . . . . . . 9 (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1211ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
1310, 12eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14 elwina 10629 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑦𝑧))
1514simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1615ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
1713, 16eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18 cfle 10197 . . . . . 6 (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
1917, 18eqsstrrdi 4004 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴𝑥)
209, 19eqssd 3966 . . . 4 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
2120fveq2d 6851 . . 3 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
2221, 8eqtr3d 2779 . 2 (((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
231, 22exlimddv 1939 1 ((𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3448  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  Oncon0 6322  Lim wlim 6323  cfv 6501  ωcom 7807  csdm 8889  cale 9879  cfccf 9880  Inaccwcwina 10625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-smo 8297  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-har 9500  df-card 9882  df-aleph 9883  df-cf 9884  df-acn 9885  df-wina 10627
This theorem is referenced by:  winafpi  10641
  Copyright terms: Public domain W3C validator