Theorem winafp 10588

Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winafp	⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winalim2 10587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		limelon 6371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4	2, 3	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5		alephle 9979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
7	6	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
9	7, 8	sseqtrd 3966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	8	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11		alephsing 10167	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
12	11	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
13	10, 12	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14		elwina 10577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≺ 𝑧))
15	14	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
17	13, 16	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18		cfle 10145	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
19	17, 18	eqsstrrdi 3975	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	9, 19	eqssd 3947	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
21	20	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
22	21, 8	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
23	1, 22	exlimddv 1936	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  ‘cfv 6481  ωcom 7796   ≺ csdm 8868  ℵcale 9829  cfccf 9830  Inacc_wcwina 10573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-smo 8266  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-har 9443  df-card 9832  df-aleph 9833  df-cf 9834  df-acn 9835  df-wina 10575

This theorem is referenced by:  winafpi  10589