Theorem winafp 10682

Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winafp	⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winalim2 10681	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		limelon 6427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4	2, 3	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5		alephle 10072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
7	6	ad2antll 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
9	7, 8	sseqtrd 3981	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	8	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11		alephsing 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
12	11	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
13	10, 12	eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14		elwina 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≺ 𝑧))
15	14	simp2bi 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
17	13, 16	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18		cfle 10237	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
19	17, 18	eqsstrrdi 3990	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	9, 19	eqssd 3962	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
21	20	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
22	21, 8	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
23	1, 22	exlimddv 1962	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  ‘cfv 6537  ωcom 7862   ≺ csdm 8942  ℵcale 9922  cfccf 9923  Inacc_wcwina 10667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-smo 8333  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9472  df-har 9519  df-card 9925  df-aleph 9926  df-cf 9927  df-acn 9928  df-wina 10669

This theorem is referenced by:  winafpi  10683