Theorem winafp 10606

Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a fixed point of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winafp	⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winafp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winalim2 10605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → ∃𝑥((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥))
2		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		limelon 6380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4	2, 3	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5		alephle 9996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
7	6	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (ℵ‘𝑥))
8		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = 𝐴)
9	7, 8	sseqtrd 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	8	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝐴))
11		alephsing 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝑥 → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
12	11	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘(ℵ‘𝑥)) = (cf‘𝑥))
13	10, 12	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = (cf‘𝑥))
14		elwina 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≺ 𝑧))
15	14	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (cf‘𝐴) = 𝐴)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
17	13, 16	eqtr3d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (cf‘𝑥) = 𝐴)
18		cfle 10162	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝑥) ⊆ 𝑥
19	17, 18	eqsstrrdi 3977	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	9, 19	eqssd 3949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
21	20	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝐴))
22	21, 8	eqtr3d 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) ∧ ((ℵ‘𝑥) = 𝐴 ∧ Lim 𝑥)) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)
23	1, 22	exlimddv 1936	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Inaccw ∧ 𝐴 ≠ ω) → (ℵ‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  Oncon0 6315  Lim wlim 6316  ‘cfv 6490  ωcom 7806   ≺ csdm 8880  ℵcale 9846  cfccf 9847  Inacc_wcwina 10591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-oi 9413  df-har 9460  df-card 9849  df-aleph 9850  df-cf 9851  df-acn 9852  df-wina 10593

This theorem is referenced by:  winafpi  10607