Theorem cfom 10238

Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfom	⊢ (cf‘ω) = ω

Proof of Theorem cfom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfle 10228	. 2 ⊢ (cf‘ω) ⊆ ω
2		limom 7851	. . . 4 ⊢ Lim ω
3		omex 9617	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	cflim2 10237	. . . 4 ⊢ (Lim ω ↔ Lim (cf‘ω))
5	2, 4	mpbi 229	. . 3 ⊢ Lim (cf‘ω)
6		limomss 7840	. . 3 ⊢ (Lim (cf‘ω) → ω ⊆ (cf‘ω))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ω ⊆ (cf‘ω)
8	1, 7	eqssi 3991	1 ⊢ (cf‘ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3941  Lim wlim 6351  ‘cfv 6529  ωcom 7835  cfccf 9911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-card 9913  df-cf 9915

This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10557  alephom  10559  omina  10665