Theorem cfom 10276

Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfom	⊢ (cf‘ω) = ω

Proof of Theorem cfom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfle 10266	. 2 ⊢ (cf‘ω) ⊆ ω
2		limom 7875	. . . 4 ⊢ Lim ω
3		omex 9655	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	cflim2 10275	. . . 4 ⊢ (Lim ω ↔ Lim (cf‘ω))
5	2, 4	mpbi 230	. . 3 ⊢ Lim (cf‘ω)
6		limomss 7864	. . 3 ⊢ (Lim (cf‘ω) → ω ⊆ (cf‘ω))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ω ⊆ (cf‘ω)
8	1, 7	eqssi 3975	1 ⊢ (cf‘ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3926  Lim wlim 6353  ‘cfv 6530  ωcom 7859  cfccf 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-cf 9953

This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10595  alephom  10597  omina  10703