MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfom 10301
Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfom (cf‘ω) = ω

Proof of Theorem cfom
StepHypRef Expression
1 cfle 10291 . 2 (cf‘ω) ⊆ ω
2 limom 7902 . . . 4 Lim ω
3 omex 9680 . . . . 5 ω ∈ V
43cflim2 10300 . . . 4 (Lim ω ↔ Lim (cf‘ω))
52, 4mpbi 230 . . 3 Lim (cf‘ω)
6 limomss 7891 . . 3 (Lim (cf‘ω) → ω ⊆ (cf‘ω))
75, 6ax-mp 5 . 2 ω ⊆ (cf‘ω)
81, 7eqssi 4011 1 (cf‘ω) = ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wss 3962  Lim wlim 6386  cfv 6562  ωcom 7886  cfccf 9974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-cf 9978
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10620  alephom  10622  omina  10728
  Copyright terms: Public domain W3C validator