Theorem cfon 10335

Description: The cofinality of any set is an ordinal (although it only makes sense when 𝐴 is an ordinal). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) Avoid ax-pow 5326 and ax-un 7751. (Revised by Umit Teoman Dogan, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cfon	⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cfon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cff 10328	. 2 ⊢ cf:On⟶On
2		0elon 6418	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7098	1 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  cfccf 10021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-card 10023  df-cf 10025

This theorem is used by:  cfslb2n  10349  cfsmolem  10351  cfcoflem  10353  cfcof  10355  cfidm  10356  alephreg  10670  winaon  10776  inawina  10778  winainf  10782  rankcf  10865  tskcard  10869  gruina  10906