Theorem cfon 10260

Description: The cofinality of any set is an ordinal (although it only makes sense when 𝐴 is an ordinal). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) Avoid ax-pow 5334 and ax-un 7740. (Revised by Umit Teoman Dogan, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cfon	⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cfon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cff 10253	. 2 ⊢ cf:On⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7095	1 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  cfccf 9946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-card 9948  df-cf 9950

This theorem is used by:  cfslb2n  10274  cfsmolem  10276  cfcoflem  10278  cfcof  10280  cfidm  10281  alephreg  10595  winaon  10701  inawina  10703  winainf  10707  rankcf  10790  tskcard  10794  gruina  10831