Theorem cfon 10286

Description: The cofinality of any set is an ordinal (although it only makes sense when 𝐴 is an ordinal). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfon	⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cfon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardcf 10283	. 2 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) = (cf‘𝐴)
2		cardon 9975	. 2 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) ∈ On
3	1, 2	eqeltrri 2826	1 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Oncon0 6374  ‘cfv 6553  cardccrd 9966  cfccf 9968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-card 9970  df-cf 9972

This theorem is referenced by:  cfslb2n  10299  cfsmolem  10301  cfcoflem  10303  cfcof  10305  cfidm  10306  alephreg  10613  winaon  10719  inawina  10721  winainf  10725  rankcf  10808  tskcard  10812  gruina  10849