Theorem cfon 10208

Description: The cofinality of any set is an ordinal (although it only makes sense when 𝐴 is an ordinal). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfon	⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cfon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardcf 10205	. 2 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) = (cf‘𝐴)
2		cardon 9897	. 2 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) ∈ On
3	1, 2	eqeltrri 2825	1 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  cardccrd 9888  cfccf 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-card 9892  df-cf 9894

This theorem is referenced by:  cfslb2n  10221  cfsmolem  10223  cfcoflem  10225  cfcof  10227  cfidm  10228  alephreg  10535  winaon  10641  inawina  10643  winainf  10647  rankcf  10730  tskcard  10734  gruina  10771