Theorem cncfiooiccre 46731

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 is assumed to be real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooiccre.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooiccre.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooiccre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cncfiooiccre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
cncfiooiccre.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooiccre.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooiccre	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooiccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
3		cncfiooiccre.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
4		cncff 25127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6		ioosscn 13465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		cncfiooiccre.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		cncfiooiccre.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		cncfiooiccre.altb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 10, 11, 12	lptioo1cn 46482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
14		cncfiooiccre.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
15	5, 7, 13, 14	limcrecl 46467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	2, 16	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
18	17	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
19		iffalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
20		iftrue 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
21	19, 20	sylan9eq 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
22	21	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
23	11	rexrd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24	8, 23, 9, 12	lptioo2cn 46481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
25		cncfiooiccre.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
26	5, 7, 24, 25	limcrecl 46467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
28	22, 27	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
30		iffalse 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
31	19, 30	sylan9eq 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
32	31	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
33	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
34	23	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39		eliccre 46343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
42	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
44	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47		iccgelb 13459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑥)
49		neqne 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≠ 𝐴)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
51	42, 43, 48, 50	leneltd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
53	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
56	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
57	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58		iccleub 13458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
60		neqne 2965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ≠ 𝐵)
61	60	necomd 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑥)
62	61	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
63	53, 54, 59, 62	leneltd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
64	63	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
65	34, 35, 41, 52, 64	eliood 46336	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66	33, 65	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
67	32, 66	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
68	29, 67	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
69	18, 68	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
70		cncfiooiccre.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
71	69, 70	fmptd 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
72		ax-resscn 11185	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73		cncfiooiccre.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
74		ssid 3956	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
75		cncfss 25133	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
76	72, 74, 75	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
77	76, 3	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78	73, 70, 11, 9, 77, 25, 14	cncfiooicc 46730	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79		cncfcdm 25132	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
80	72, 78, 79	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
81	71, 80	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,)cioo 13402  [,]cicc 13405  TopOpenctopn 17512  ℂ_fldccnfld 21591  –cn→ccncf 25110   lim_ℂ climc 26096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-rest 17513  df-topn 17514  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-xms 24552  df-ms 24553  df-cncf 25112  df-limc 26100

This theorem is used by: (None)