Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooiccre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooiccre 44226
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡. 𝐹 is assumed to be real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooiccre.x β„²π‘₯πœ‘
cncfiooiccre.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
cncfiooiccre.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
cncfiooiccre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
cncfiooiccre.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfiooiccre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooiccre (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem cncfiooiccre
StepHypRef Expression
1 iftrue 4496 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
21adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
3 cncfiooiccre.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
4 cncff 24279 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
6 ioosscn 13335 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 cncfiooiccre.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 cncfiooiccre.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 cncfiooiccre.altb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
138, 10, 11, 12lptioo1cn 43977 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
14 cncfiooiccre.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
155, 7, 13, 14limcrecl 43960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
172, 16eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
1817adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
19 iffalse 4499 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
20 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2793 . . . . . . . 8 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2221adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2311rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
248, 23, 9, 12lptioo2cn 43976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
25 cncfiooiccre.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
265, 7, 24, 25limcrecl 43960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
2822, 27eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
2928adantllr 718 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
30 iffalse 4499 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
3119, 30sylan9eq 2793 . . . . . . 7 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
3231adantll 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
335ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3423ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3510ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3611adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
379adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
39 eliccre 43833 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4211ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4340adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4510ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4638adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
47 iccgelb 13329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
49 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
5142, 43, 48, 50leneltd 11317 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5340adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
549ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5523ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5738adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
58 iccleub 13328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5955, 56, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
60 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
6261adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
6353, 54, 59, 62leneltd 11317 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
6463adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
6534, 35, 41, 52, 64eliood 43826 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
6633, 65ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6732, 66eqeltrd 2834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6829, 67pm2.61dan 812 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6918, 68pm2.61dan 812 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
70 cncfiooiccre.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
7169, 70fmptd 7066 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
72 ax-resscn 11116 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
73 cncfiooiccre.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
74 ssid 3970 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
75 cncfss 24285 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
7672, 74, 75mp2an 691 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
7776, 3sselid 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
7873, 70, 11, 9, 77, 25, 14cncfiooicc 44225 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
79 cncfcdm 24284 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
8072, 78, 79sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
8171, 80mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  β€“cnβ†’ccncf 24262   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-xms 23696  df-ms 23697  df-cncf 24264  df-limc 25253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator