Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooiccre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooiccre 43111
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 is assumed to be real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooiccre.x 𝑥𝜑
cncfiooiccre.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfiooiccre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
cncfiooiccre.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
cncfiooiccre.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
cncfiooiccre.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooiccre (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooiccre
StepHypRef Expression
1 iftrue 4445 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
21adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
3 cncfiooiccre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
4 cncff 23790 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6 ioosscn 12997 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9 cncfiooiccre.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10883 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
11 cncfiooiccre.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
12 cncfiooiccre.altb . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 10, 11, 12lptioo1cn 42862 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
14 cncfiooiccre.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
155, 7, 13, 14limcrecl 42845 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
172, 16eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
1817adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
19 iffalse 4448 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
20 iftrue 4445 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2798 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2221adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2311rexrd 10883 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
248, 23, 9, 12lptioo2cn 42861 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
25 cncfiooiccre.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
265, 7, 24, 25limcrecl 42845 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
2822, 27eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
2928adantllr 719 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
30 iffalse 4448 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
3119, 30sylan9eq 2798 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
3231adantll 714 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
335ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3423ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3510ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3611adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
379adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
38 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39 eliccre 42718 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
4211ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4340adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4510ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4638adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47 iccgelb 12991 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
49 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
5049adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
5142, 43, 48, 50leneltd 10986 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
5251adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
5340adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
549ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5523ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5610ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5738adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58 iccleub 12990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5955, 56, 57, 58syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
60 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵𝑥𝐵)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
6261adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
6353, 54, 59, 62leneltd 10986 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6463adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6534, 35, 41, 52, 64eliood 42711 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6633, 65ffvelrnd 6905 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6732, 66eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
6829, 67pm2.61dan 813 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
6918, 68pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
70 cncfiooiccre.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
7169, 70fmptd 6931 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
72 ax-resscn 10786 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
73 cncfiooiccre.x . . . 4 𝑥𝜑
74 ssid 3923 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
75 cncfss 23796 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7672, 74, 75mp2an 692 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
7776, 3sseldi 3899 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7873, 70, 11, 9, 77, 25, 14cncfiooicc 43110 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79 cncffvrn 23795 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
8072, 78, 79sylancr 590 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
8171, 80mpbird 260 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wne 2940  wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  cmpt 5135  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  (,)cioo 12935  [,]cicc 12938  TopOpenctopn 16926  fldccnfld 20363  cnccncf 23773   lim climc 24759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-xms 23218  df-ms 23219  df-cncf 23775  df-limc 24763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator