Theorem cncfiooiccre 44126

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 is assumed to be real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooiccre.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooiccre.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooiccre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cncfiooiccre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
cncfiooiccre.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooiccre.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooiccre	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooiccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
3		cncfiooiccre.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
4		cncff 24256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6		ioosscn 13326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		cncfiooiccre.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		cncfiooiccre.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		cncfiooiccre.altb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 10, 11, 12	lptioo1cn 43877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
14		cncfiooiccre.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
15	5, 7, 13, 14	limcrecl 43860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	2, 16	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
18	17	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
19		iffalse 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
20		iftrue 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
21	19, 20	sylan9eq 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
22	21	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
23	11	rexrd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24	8, 23, 9, 12	lptioo2cn 43876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
25		cncfiooiccre.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
26	5, 7, 24, 25	limcrecl 43860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
28	22, 27	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 717	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
30		iffalse 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
31	19, 30	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
32	31	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
33	5	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
34	23	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	10	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
38		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39		eliccre 43733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
42	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
44	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47		iccgelb 13320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑥)
49		neqne 2951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≠ 𝐴)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
51	42, 43, 48, 50	leneltd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
53	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
56	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
57	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58		iccleub 13319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
60		neqne 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ≠ 𝐵)
61	60	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑥)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
63	53, 54, 59, 62	leneltd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
64	63	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
65	34, 35, 41, 52, 64	eliood 43726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66	33, 65	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
67	32, 66	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
68	29, 67	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
69	18, 68	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
70		cncfiooiccre.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
71	69, 70	fmptd 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
72		ax-resscn 11108	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73		cncfiooiccre.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
74		ssid 3966	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
75		cncfss 24262	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
76	72, 74, 75	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
77	76, 3	sselid 3942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78	73, 70, 11, 9, 77, 25, 14	cncfiooicc 44125	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79		cncfcdm 24261	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
80	72, 78, 79	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
81	71, 80	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  –cn→ccncf 24239   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230

This theorem is referenced by: (None)