Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooiccre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooiccre 44601
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡. 𝐹 is assumed to be real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooiccre.x β„²π‘₯πœ‘
cncfiooiccre.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
cncfiooiccre.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfiooiccre.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
cncfiooiccre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
cncfiooiccre.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfiooiccre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooiccre (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem cncfiooiccre
StepHypRef Expression
1 iftrue 4534 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
21adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
3 cncfiooiccre.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
4 cncff 24408 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
6 ioosscn 13385 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 cncfiooiccre.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11263 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 cncfiooiccre.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 cncfiooiccre.altb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
138, 10, 11, 12lptioo1cn 44352 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
14 cncfiooiccre.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
155, 7, 13, 14limcrecl 44335 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
172, 16eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
1817adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
19 iffalse 4537 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
20 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2221adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2311rexrd 11263 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
248, 23, 9, 12lptioo2cn 44351 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
25 cncfiooiccre.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
265, 7, 24, 25limcrecl 44335 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
2822, 27eqeltrd 2833 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
2928adantllr 717 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
30 iffalse 4537 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
3119, 30sylan9eq 2792 . . . . . . 7 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
3231adantll 712 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
335ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3423ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3510ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3611adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
379adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
38 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
39 eliccre 44208 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4211ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4340adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4510ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4638adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
47 iccgelb 13379 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
49 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
5049adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
5142, 43, 48, 50leneltd 11367 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5251adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5340adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
549ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5523ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5610ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5738adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
58 iccleub 13378 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5955, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
60 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
6261adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
6353, 54, 59, 62leneltd 11367 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
6463adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
6534, 35, 41, 52, 64eliood 44201 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
6633, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6732, 66eqeltrd 2833 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6829, 67pm2.61dan 811 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6918, 68pm2.61dan 811 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
70 cncfiooiccre.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
7169, 70fmptd 7113 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
72 ax-resscn 11166 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
73 cncfiooiccre.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
74 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
75 cncfss 24414 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
7672, 74, 75mp2an 690 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
7776, 3sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
7873, 70, 11, 9, 77, 25, 14cncfiooicc 44600 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
79 cncfcdm 24413 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
8072, 78, 79sylancr 587 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
8171, 80mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  β€“cnβ†’ccncf 24391   limβ„‚ climc 25378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826  df-cncf 24393  df-limc 25382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator