Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobd 44911
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfioobd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfioobd.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfioobd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfioobd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfioobd.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 cncfioobd.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 nfv 1915 . . . 4 β„²π‘§πœ‘
4 eqid 2730 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))
5 cncfioobd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6 cncfioobd.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
7 cncfioobd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
83, 4, 1, 2, 5, 6, 7cncfiooicc 44908 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9 cniccbdd 25210 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101, 2, 8, 9syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
11 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
12 nfra1 3279 . . . . . 6 β„²π‘¦βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯
1311, 12nfan 1900 . . . . 5 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
14 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
15 cncff 24633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
165, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1716fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
1817eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
2014, 19eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
211adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
222adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2316adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
2517adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
2624, 25eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
2721, 22, 23, 4, 26cncfioobdlem 44910 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2820, 27syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2928eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦))
3029fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
3130ad4ant14 748 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
32 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
33 ioossicc 13414 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
34 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3533, 34sselid 3979 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 rspa 3243 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3732, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3831, 37eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3938ex 411 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4013, 39ralrimi 3252 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4140ex 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4241reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4310, 42mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   ≀ cle 11253  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  abscabs 15185  β€“cnβ†’ccncf 24616   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  45190  fourierdlem71  45191
  Copyright terms: Public domain W3C validator