Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobd 44228
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfioobd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfioobd.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfioobd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfioobd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfioobd.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 cncfioobd.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘§πœ‘
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))
5 cncfioobd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6 cncfioobd.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
7 cncfioobd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
83, 4, 1, 2, 5, 6, 7cncfiooicc 44225 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9 cniccbdd 24848 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101, 2, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
11 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
12 nfra1 3266 . . . . . 6 β„²π‘¦βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯
1311, 12nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
15 cncff 24279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
165, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1716fdmd 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
1817eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
2014, 19eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
211adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
222adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2316adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
2517adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
2624, 25eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
2721, 22, 23, 4, 26cncfioobdlem 44227 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2820, 27syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2928eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦))
3029fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
3130ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
32 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
33 ioossicc 13359 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
34 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3533, 34sselid 3946 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 rspa 3230 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3732, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3831, 37eqbrtrd 5131 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3938ex 414 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4013, 39ralrimi 3239 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4140ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4241reximdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4310, 42mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128  β€“cnβ†’ccncf 24262   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  44507  fourierdlem71  44508
  Copyright terms: Public domain W3C validator