Theorem cncfioobd 47000

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfioobd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfioobd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cncfioobd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))
5		cncfioobd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6		cncfioobd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		cncfioobd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
8	3, 4, 1, 2, 5, 6, 7	cncfiooicc 46997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9		cniccbdd 25787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
11		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
12		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥
13	11, 12	nfan 1931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15		cncff 25219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
16	5, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
17	16	fdmd 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
18	17	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
20	14, 19	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
21	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
27	21, 22, 23, 4, 26	cncfioobdlem 46999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
28	20, 27	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
29	28	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦))
30	29	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
31	30	ad4ant14 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
32		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
33		ioossicc 13567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36		rspa 3251	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
37	32, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
38	31, 37	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
39	38	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
40	13, 39	ralrimi 3260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
41	40	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
42	41	reximdva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
43	10, 42	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202   ≤ cle 11347  (,)cioo 13479  [,]cicc 13482  abscabs 15406  –cn→ccncf 25202   lim_ℂ climc 26187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191

This theorem is used by:  fourierdlem70  47279  fourierdlem71  47280