Theorem cncfioobd 46343

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfioobd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfioobd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cncfioobd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))
5		cncfioobd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6		cncfioobd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		cncfioobd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
8	3, 4, 1, 2, 5, 6, 7	cncfiooicc 46340	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9		cniccbdd 25438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
11		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
12		nfra1 3262	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥
13	11, 12	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15		cncff 24870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
17	16	fdmd 6672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
18	17	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
20	14, 19	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
21	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
27	21, 22, 23, 4, 26	cncfioobdlem 46342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
28	20, 27	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
29	28	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦))
30	29	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
31	30	ad4ant14 753	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
32		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
33		ioossicc 13377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36		rspa 3227	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
37	32, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
38	31, 37	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
40	13, 39	ralrimi 3236	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
42	41	reximdva 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
43	10, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  abscabs 15187  –cn→ccncf 24853   lim_ℂ climc 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  46622  fourierdlem71  46623