Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobd 44912
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfioobd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfioobd.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfioobd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfioobd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfioobd.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 cncfioobd.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 nfv 1916 . . . 4 β„²π‘§πœ‘
4 eqid 2731 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))
5 cncfioobd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6 cncfioobd.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
7 cncfioobd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
83, 4, 1, 2, 5, 6, 7cncfiooicc 44909 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9 cniccbdd 25211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101, 2, 8, 9syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
11 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
12 nfra1 3280 . . . . . 6 β„²π‘¦βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯
1311, 12nfan 1901 . . . . 5 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
15 cncff 24634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
165, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1716fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
1817eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom 𝐹)
2014, 19eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
211adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
222adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2316adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
2517adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
2624, 25eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
2721, 22, 23, 4, 26cncfioobdlem 44911 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2820, 27syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2928eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦))
3029fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
3130ad4ant14 749 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)))
32 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
33 ioossicc 13415 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
34 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3533, 34sselid 3980 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 rspa 3244 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3732, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3831, 37eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3938ex 412 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4013, 39ralrimi 3253 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4140ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4241reximdva 3167 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
4310, 42mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113   ≀ cle 11254  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  abscabs 15186  β€“cnβ†’ccncf 24617   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  45191  fourierdlem71  45192
  Copyright terms: Public domain W3C validator