Theorem deg1le0 26429

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1le0.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1le0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1le0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1le0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 26398	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8489	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1le0.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1le0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 8	ply1bas 22513	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10		deg1le0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11	7, 10	ply1ascl 22577	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 5, 6, 9, 11, 12	mdegle0 26395	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
14		0nn0 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
16	15	coe1fv 22524	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
17	12, 14, 16	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
18	17	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
19	18	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
20	13, 19	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  0cc0 11200   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Ringcrg 20459  algSccascl 22160   mPoly cmpl 22214  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496  deg₁cdg1 26372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374

This theorem is used by:  deg1sclle  26430  ply1rem  26484  fta1g  26488  deg1le0eq0  34105  ply1unit  34107  m1pmeq  34117  minplyirredlem  34342