MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1le0 24708
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1le0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 24677 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8099 . . . 4 1o ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 1o ∈ On)
6 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2824 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
107, 8, 9ply1bas 20356 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
127, 11ply1ascl 20419 . . 3 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
13 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 24674 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
15 0nn0 11905 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2824 . . . . . 6 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
1716coe1fv 20367 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1813, 15, 17sylancl 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1918fveq2d 6662 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
2019eqeq2d 2835 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
2114, 20bitr4d 285 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4549   class class class wbr 5052   × cxp 5540  Oncon0 6178  cfv 6343  (class class class)co 7145  1oc1o 8085  0cc0 10529  cle 10668  0cn0 11890  Basecbs 16479  Ringcrg 19293  algSccascl 20077   mPoly cmpl 20126  PwSer1cps1 20336  Poly1cpl1 20338  coe1cco1 20339   deg1 cdg1 24651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19526  df-ascl 20080  df-psr 20129  df-mpl 20131  df-opsr 20133  df-psr1 20341  df-ply1 20343  df-coe1 20344  df-cnfld 20539  df-mdeg 24652  df-deg1 24653
This theorem is referenced by:  deg1sclle  24709  ply1rem  24760  fta1g  24764
  Copyright terms: Public domain W3C validator