MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1le0 25998
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1le0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1le0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
32deg1fval 25967 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8476 . . . 4 1o ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
6 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 eqid 2726 . . . 4 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
107, 8, 9ply1bas 22065 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
127, 11ply1ascl 22128 . . 3 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
13 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 25964 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0})))))
15 0nn0 12488 . . . . 5 0 ∈ β„•0
16 eqid 2726 . . . . . 6 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
1716coe1fv 22076 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = (πΉβ€˜(1o Γ— {0})))
1813, 15, 17sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = (πΉβ€˜(1o Γ— {0})))
1918fveq2d 6888 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0}))))
2019eqeq2d 2737 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0})))))
2114, 20bitr4d 282 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  Oncon0 6357  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1oc1o 8457  0cc0 11109   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  Basecbs 17151  Ringcrg 20136  algSccascl 21743   mPoly cmpl 21796  PwSer1cps1 22045  Poly1cpl1 22047  coe1cco1 22048   deg1 cdg1 25938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-cnfld 21237  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-ply1 22052  df-coe1 22053  df-mdeg 25939  df-deg1 25940
This theorem is referenced by:  deg1sclle  25999  ply1rem  26051  fta1g  26055  deg1le0eq0  33162  ply1unit  33164  m1pmeq  33165  minplyirredlem  33289
  Copyright terms: Public domain W3C validator