MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1le0 25304
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1le0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 25273 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8329 . . . 4 1o ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 1o ∈ On)
6 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2733 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
107, 8, 9ply1bas 21394 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
127, 11ply1ascl 21457 . . 3 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
13 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 25270 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
15 0nn0 12276 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2733 . . . . . 6 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
1716coe1fv 21405 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1813, 15, 17sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1918fveq2d 6796 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
2019eqeq2d 2744 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
2114, 20bitr4d 281 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  {csn 4564   class class class wbr 5077   × cxp 5589  Oncon0 6270  cfv 6447  (class class class)co 7295  1oc1o 8310  0cc0 10899  cle 11038  0cn0 12261  Basecbs 16940  Ringcrg 19811  algSccascl 21087   mPoly cmpl 21137  PwSer1cps1 21374  Poly1cpl1 21376  coe1cco1 21377   deg1 cdg1 25244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-ofr 7554  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-sup 9229  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-cring 19814  df-subrg 20050  df-cnfld 20626  df-ascl 21090  df-psr 21140  df-mpl 21142  df-opsr 21144  df-psr1 21379  df-ply1 21381  df-coe1 21382  df-mdeg 25245  df-deg1 25246
This theorem is referenced by:  deg1sclle  25305  ply1rem  25356  fta1g  25360
  Copyright terms: Public domain W3C validator