Theorem deg1le0 25181

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1le0.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1le0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1le0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1le0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3	2	deg1fval 25150	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8274	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1le0.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
9		deg1le0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	7, 8, 9	ply1bas 21276	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11		deg1le0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
12	7, 11	ply1ascl 21339	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 5, 6, 10, 12, 13	mdegle0 25147	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
15		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17	16	coe1fv 21287	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
18	13, 15, 17	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
19	18	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
20	19	eqeq2d 2749	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
21	14, 20	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  algSccascl 20969   mPoly cmpl 21019  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259   deg₁ cdg1 25121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mdeg 25122  df-deg1 25123

This theorem is referenced by:  deg1sclle  25182  ply1rem  25233  fta1g  25237