MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1le0 26065
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1le0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1le0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
32deg1fval 26034 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8503 . . . 4 1o ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
6 simpl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 eqid 2727 . . . 4 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
107, 8, 9ply1bas 22119 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
127, 11ply1ascl 22182 . . 3 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
13 simpr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 26031 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0})))))
15 0nn0 12523 . . . . 5 0 ∈ β„•0
16 eqid 2727 . . . . . 6 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
1716coe1fv 22130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = (πΉβ€˜(1o Γ— {0})))
1813, 15, 17sylancl 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = (πΉβ€˜(1o Γ— {0})))
1918fveq2d 6904 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0}))))
2019eqeq2d 2738 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(1o Γ— {0})))))
2114, 20bitr4d 281 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630   class class class wbr 5150   Γ— cxp 5678  Oncon0 6372  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  1oc1o 8484  0cc0 11144   ≀ cle 11285  β„•0cn0 12508  Basecbs 17185  Ringcrg 20178  algSccascl 21791   mPoly cmpl 21844  PwSer1cps1 22099  Poly1cpl1 22101  coe1cco1 22102   deg1 cdg1 26005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-cnfld 21285  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22104  df-ply1 22106  df-coe1 22107  df-mdeg 26006  df-deg1 26007
This theorem is referenced by:  deg1sclle  26066  ply1rem  26118  fta1g  26122  deg1le0eq0  33263  ply1unit  33265  m1pmeq  33266  minplyirredlem  33385
  Copyright terms: Public domain W3C validator