Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1le0 24708
 Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1le0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 24677 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8099 . . . 4 1o ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 1o ∈ On)
6 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2824 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
107, 8, 9ply1bas 20356 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
127, 11ply1ascl 20419 . . 3 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
13 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 24674 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
15 0nn0 11905 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2824 . . . . . 6 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
1716coe1fv 20367 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1813, 15, 17sylancl 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
1918fveq2d 6662 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
2019eqeq2d 2835 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
2114, 20bitr4d 285 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4549   class class class wbr 5052   × cxp 5540  Oncon0 6178  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  1oc1o 8085  0cc0 10529   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11890  Basecbs 16479  Ringcrg 19293  algSccascl 20077   mPoly cmpl 20126  PwSer1cps1 20336  Poly1cpl1 20338  coe1cco1 20339   deg1 cdg1 24651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19526  df-ascl 20080  df-psr 20129  df-mpl 20131  df-opsr 20133  df-psr1 20341  df-ply1 20343  df-coe1 20344  df-cnfld 20539  df-mdeg 24652  df-deg1 24653 This theorem is referenced by:  deg1sclle  24709  ply1rem  24760  fta1g  24764
 Copyright terms: Public domain W3C validator