Theorem deg1le0 26164

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1le0.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1le0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1le0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1le0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 26133	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8516	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1le0.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1le0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 8	ply1bas 22211	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10		deg1le0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11	7, 10	ply1ascl 22276	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 5, 6, 9, 11, 12	mdegle0 26130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
14		0nn0 12538	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
16	15	coe1fv 22223	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
17	12, 14, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
18	17	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
19	18	eqeq2d 2745	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
20	13, 19	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {csn 4630   class class class wbr 5147   × cxp 5686  Oncon0 6385  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1_oc1o 8497  0cc0 11152   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17244  Ringcrg 20250  algSccascl 21889   mPoly cmpl 21943  Poly₁cpl1 22193  coe₁cco1 22194  deg₁cdg1 26107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109

This theorem is referenced by:  deg1sclle  26165  ply1rem  26219  fta1g  26223  deg1le0eq0  33577  ply1unit  33579  m1pmeq  33587  minplyirredlem  33717