Theorem deg1le0 26014

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1le0.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1le0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1le0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1le0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 25983	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8400	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1le0.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1le0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 8	ply1bas 22077	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10		deg1le0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11	7, 10	ply1ascl 22142	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 5, 6, 9, 11, 12	mdegle0 25980	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
14		0nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
16	15	coe1fv 22089	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
17	12, 14, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹)‘0) = (𝐹‘(1o × {0})))
18	17	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0}))))
19	18	eqeq2d 2740	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1o × {0})))))
20	13, 19	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1‘𝐹)‘0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   class class class wbr 5092   × cxp 5617  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1_oc1o 8381  0cc0 11009   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  Ringcrg 20118  algSccascl 21759   mPoly cmpl 21813  Poly₁cpl1 22059  coe₁cco1 22060  deg₁cdg1 25957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-cnfld 21262  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959

This theorem is referenced by:  deg1sclle  26015  ply1rem  26069  fta1g  26073  deg1le0eq0  33508  ply1unit  33510  m1pmeq  33519  minplyirredlem  33677