MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcut2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcut2 27792
Description: If ðī and ðķ are mutually cofinal and ðĩ and 𝐷 are mutually coinitial, then the cut of ðī and ðĩ is equal to the cut of ðķ and 𝐷. Theorem 2.7 of [Gonshor] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcut2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
Distinct variable groups:   ð‘Ą,ðī,ð‘Ē   ð‘Ĩ,ðī   ðĩ,𝑟,𝑠   𝑧,ðĩ   ð‘Ą,ðķ   ð‘Ĩ,ðķ,ð‘Ķ   𝐷,𝑟   ð‘Ī,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ī,𝑠,𝑟)   ðĩ(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,ð‘Ī,ð‘Ē,ð‘Ą)   ðķ(𝑧,ð‘Ī,ð‘Ē,𝑠,𝑟)   𝐷(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠)

Proof of Theorem cofcut2
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðī <<s ðĩ)
2 simp2 1134 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
3 simp12 1201 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðķ ∈ ð’Ŧ No )
4 simp3l 1198 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē)
5 scutcut 27684 . . . . 5 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
61, 5syl 17 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
76simp2d 1140 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðī <<s {(ðī |s ðĩ)})
8 cofsslt 27788 . . 3 ((ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)}) → ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)})
93, 4, 7, 8syl3anc 1368 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)})
10 simp13 1202 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → 𝐷 ∈ ð’Ŧ No )
11 simp3r 1199 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)
126simp3d 1141 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ)
13 coinitsslt 27789 . . 3 ((𝐷 ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟 ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ) → {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)
15 cofcut1 27790 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1371 1 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3055  âˆƒwrex 3064  ð’Ŧ cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   No csur 27523   â‰Īs csle 27627   <<s csslt 27663   |s cscut 27665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27526  df-slt 27527  df-bday 27528  df-sle 27628  df-sslt 27664  df-scut 27666
This theorem is referenced by:  cofcut2d  27793
  Copyright terms: Public domain W3C validator