MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcut2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcut2 27862
Description: If ðī and ðķ are mutually cofinal and ðĩ and 𝐷 are mutually coinitial, then the cut of ðī and ðĩ is equal to the cut of ðķ and 𝐷. Theorem 2.7 of [Gonshor] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcut2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
Distinct variable groups:   ð‘Ą,ðī,ð‘Ē   ð‘Ĩ,ðī   ðĩ,𝑟,𝑠   𝑧,ðĩ   ð‘Ą,ðķ   ð‘Ĩ,ðķ,ð‘Ķ   𝐷,𝑟   ð‘Ī,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ī,𝑠,𝑟)   ðĩ(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,ð‘Ī,ð‘Ē,ð‘Ą)   ðķ(𝑧,ð‘Ī,ð‘Ē,𝑠,𝑟)   𝐷(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠)

Proof of Theorem cofcut2
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðī <<s ðĩ)
2 simp2 1134 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
3 simp12 1201 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðķ ∈ ð’Ŧ No )
4 simp3l 1198 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē)
5 scutcut 27754 . . . . 5 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
61, 5syl 17 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
76simp2d 1140 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðī <<s {(ðī |s ðĩ)})
8 cofsslt 27858 . . 3 ((ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)}) → ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)})
93, 4, 7, 8syl3anc 1368 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)})
10 simp13 1202 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → 𝐷 ∈ ð’Ŧ No )
11 simp3r 1199 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)
126simp3d 1141 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ)
13 coinitsslt 27859 . . 3 ((𝐷 ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟 ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ) → {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)
15 cofcut1 27860 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (ðķ <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s 𝐷)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1371 1 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ ∈ ð’Ŧ No ∧ 𝐷 ∈ ð’Ŧ No ) ∧ (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðķ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ 𝐷 ð‘Ī â‰Īs 𝑧) ∧ (âˆ€ð‘Ą ∈ ðķ ∃ð‘Ē ∈ ðī ð‘Ą â‰Īs ð‘Ē ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ ðĩ 𝑠 â‰Īs 𝑟)) → (ðī |s ðĩ) = (ðķ |s 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3058  âˆƒwrex 3067  ð’Ŧ cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   No csur 27593   â‰Īs csle 27697   <<s csslt 27733   |s cscut 27735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736
This theorem is referenced by:  cofcut2d  27863
  Copyright terms: Public domain W3C validator