Theorem cofcut2 28308

Description: If 𝐴 and 𝐶 are mutually cofinal and 𝐵 and 𝐷 are mutually coinitial, then the cut of 𝐴 and 𝐵 is equal to the cut of 𝐶 and 𝐷. Theorem 2.7 of [Gonshor] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cofcut2	⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑢   𝑥,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑧,𝐵   𝑡,𝐶   𝑥,𝐶,𝑦   𝐷,𝑟   𝑤,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑠, 𝑟)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑢, 𝑡)   𝐶(𝑧, 𝑤, 𝑢, 𝑠, 𝑟)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem cofcut2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐴 <<s 𝐵)
2		simp2 1155	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧))
3		simp12 1223	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐶 ∈ 𝒫 No)
4		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢)
5		cutcuts 28167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
7	6	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
8		cofslts 28304	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)}) → 𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
9	3, 4, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
10		simp13 1224	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐷 ∈ 𝒫 No)
11		simp3r 1221	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)
12	6	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
13		coinitslts 28305	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟 ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)
15		cofcut1 28306	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))
16	1, 2, 9, 14, 15	syl112anc 1401	1 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ 𝐷 ∈ 𝒫 No) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡 ∈ 𝐶 ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐷 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  𝒫 cpw 4556  {csn 4583   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   ≤s cles 28101   <<s cslts 28143   |s ccuts 28145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8476  df-2o 8477  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146

This theorem is used by:  cofcut2d  28309