MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcut2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcut2 27757
Description: If 𝐴 and 𝐶 are mutually cofinal and 𝐵 and 𝐷 are mutually coinitial, then the cut of 𝐴 and 𝐵 is equal to the cut of 𝐶 and 𝐷. Theorem 2.7 of [Gonshor] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcut2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑢   𝑥,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑧,𝐵   𝑡,𝐶   𝑥,𝐶,𝑦   𝐷,𝑟   𝑤,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑠,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑢,𝑡)   𝐶(𝑧,𝑤,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem cofcut2
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐴 <<s 𝐵)
2 simp2 1136 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧))
3 simp12 1203 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐶 ∈ 𝒫 No )
4 simp3l 1200 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢)
5 scutcut 27649 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
76simp2d 1142 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
8 cofsslt 27753 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)}) → 𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
93, 4, 7, 8syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
10 simp13 1204 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → 𝐷 ∈ 𝒫 No )
11 simp3r 1201 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)
126simp3d 1143 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
13 coinitsslt 27754 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟 ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)
15 cofcut1 27755 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (𝐶 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐷)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1373 1 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 ∈ 𝒫 No 𝐷 ∈ 𝒫 No ) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐷 𝑤 ≤s 𝑧) ∧ (∀𝑡𝐶𝑢𝐴 𝑡 ≤s 𝑢 ∧ ∀𝑟𝐷𝑠𝐵 𝑠 ≤s 𝑟)) → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐶 |s 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   No csur 27488   ≤s csle 27592   <<s csslt 27628   |s cscut 27630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631
This theorem is referenced by:  cofcut2d  27758
  Copyright terms: Public domain W3C validator