Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem53 39230
Description: Lemma for dath 39241. The auxliary axis of perspectivity 𝐡 is a line (analogous to the actual axis of perspectivity 𝑋 in dalem15 39183. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem53.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem53.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
dalem53.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem53.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem53.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem53.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem53.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem53.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
dalem53.b1 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dalem53 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem dalem53
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem.ps . . 3 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
6 dalem53.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 dalem53.o . . 3 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
8 dalem53.y . . 3 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem53.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
10 dalem53.g . . 3 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
11 dalem53.h . . 3 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
12 dalem53.i . . 3 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dalem51 39228 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β‰  π‘Œ))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1514, 4atbase 38793 . . . . 5 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1615anim2i 615 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
17163anim1i 1149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)))
18 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))))
19 dalem53.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
20 eqid 2728 . . . 4 ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)
21 dalem53.b1 . . . 4 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
2218, 2, 3, 4, 6, 19, 7, 20, 8, 21dalem15 39183 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β‰  π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)
2317, 22syl3anl1 1409 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β‰  π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)
2413, 23syl 17 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005
This theorem is referenced by:  dalem54  39231  dalem55  39232  dalem57  39234  dalem60  39237
  Copyright terms: Public domain W3C validator