Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnwech Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnwech 41404
Description: Define a well-ordering from a choice function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dnnumch.f 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
dnnumch.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
dnwech.h 𝐻 = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})}
Assertion
Ref Expression
dnwech (πœ‘ β†’ 𝐻 We 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐹,𝑀,𝑦   𝑣,𝐺,𝑀,𝑦,𝑧   𝑣,𝐴,𝑀,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣)

Proof of Theorem dnwech
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dnnumch.f . . . . 5 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
2 dnnumch.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 dnnumch.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
41, 2, 3dnnumch3 41403 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On)
5 f1f1orn 6800 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
7 f1f 6743 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On)
8 frn 6680 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})) βŠ† On)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})) βŠ† On)
10 epweon 7714 . . . 4 E We On
11 wess 5625 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})) βŠ† On β†’ ( E We On β†’ E We ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
129, 10, 11mpisyl 21 . . 3 (πœ‘ β†’ E We ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
13 eqid 2737 . . . 4 {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)}
1413f1owe 7303 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})) β†’ ( E We ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})) β†’ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} We 𝐴))
156, 12, 14sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} We 𝐴)
16 fvex 6860 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) ∈ V
1716epeli 5544 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€))
181, 2, 3dnnumch3lem 41402 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
1918adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
201, 2, 3dnnumch3lem 41402 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
2219, 21eleq12d 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) ↔ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
2317, 22bitr2id 284 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)))
2423pm5.32da 580 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ↔ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€))))
2524opabbidv 5176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))} = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€))})
26 incom 4166 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((𝐴 Γ— 𝐴) ∩ 𝐻)
27 df-xp 5644 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— 𝐴) = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)}
28 dnwech.h . . . . . . 7 𝐻 = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})}
2927, 28ineq12i 4175 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐴) ∩ 𝐻) = ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)} ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})})
30 inopab 5790 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)} ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})}) = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))}
3126, 29, 303eqtri 2769 . . . . 5 (𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))}
32 incom 4166 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((𝐴 Γ— 𝐴) ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)})
3327ineq1i 4173 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐴) ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)}) = ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)} ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)})
34 inopab 5790 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)} ∩ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)}) = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€))}
3532, 33, 343eqtri 2769 . . . . 5 ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€))}
3625, 31, 353eqtr4g 2802 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
37 weeq1 5626 . . . 4 ((𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ ((𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴 ↔ ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴))
3836, 37syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴 ↔ ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴))
39 weinxp 5721 . . 3 (𝐻 We 𝐴 ↔ (𝐻 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴)
40 weinxp 5721 . . 3 ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} We 𝐴 ↔ ({βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) We 𝐴)
4138, 39, 403bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 We 𝐴 ↔ {βŸ¨π‘£, π‘€βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) E ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€)} We 𝐴))
4215, 41mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆ© cint 4912   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193   E cep 5541   We wwe 5592   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  recscrecs 8321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-ov 7365  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322
This theorem is referenced by:  aomclem3  41412
  Copyright terms: Public domain W3C validator