Theorem elright 27778

Description: Membership in the right set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elright	⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem elright

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 <s 𝑥 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
2		rightval 27776	. 2 ⊢ ( R ‘𝐵) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∣ 𝐵 <s 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3651	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   <s cslt 27550   bday cbday 27551   O cold 27755   R cright 27758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-1o 8388  df-no 27552  df-bday 27554  df-made 27759  df-old 27760  df-right 27763

This theorem is referenced by:  rightgt  27780  0elright  27828  addsproplem5  27887  addsproplem6  27888  negsproplem5  27945  negsproplem6  27946  mulsproplem12  28037