Theorem elright 28157

Description: Membership in the right set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elright	⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem elright

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 <s 𝑥 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
2		rightval 28155	. 2 ⊢ ( R ‘𝐵) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∣ 𝐵 <s 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3649	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528   <s clts 27917   bday cbday 27918   O cold 28128   R cright 28131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8455  df-no 27919  df-bday 27921  df-made 28132  df-old 28133  df-right 28136

This theorem is used by:  rightgt  28159  0elright  28217  addsproplem5  28278  addsproplem6  28279  negsproplem5  28337  negsproplem6  28338  negleft  28363  negright  28364  mulsproplem12  28432