Theorem elright 28115

Description: Membership in the right set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elright	⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem elright

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5111	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 <s 𝑥 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
2		rightval 28113	. 2 ⊢ ( R ‘𝐵) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∣ 𝐵 <s 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3652	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( R ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐵 <s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   <s clts 27875   bday cbday 27876   O cold 28086   R cright 28089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-no 27877  df-bday 27879  df-made 28090  df-old 28091  df-right 28094

This theorem is used by:  rightgt  28117  0elright  28175  addsproplem5  28236  addsproplem6  28237  negsproplem5  28295  negsproplem6  28296  negleft  28321  negright  28322  mulsproplem12  28390