Theorem leftlt 28012

Description: A member of a surreal's left set is less than it. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
leftlt	⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)

Proof of Theorem leftlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elleft 28010	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))
2	1	simprbi 502	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537   <s clts 27771   bday cbday 27772   O cold 27982   L cleft 27984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8453  df-no 27773  df-bday 27775  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989

This theorem is referenced by:  addsproplem2  28129  leadds1  28148  negsid  28200  negleft  28217  negright  28218  precsexlem9  28374  ltonold  28420  oncutlt  28423  onnolt  28425  onlts  28426  onsbnd  28440  elreno2  28654