Theorem elleft 27831

Description: Membership in the left set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elleft	⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Proof of Theorem elleft

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
2		leftval 27829	. 2 ⊢ ( L ‘𝐵) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∣ 𝑥 <s 𝐵}
3	1, 2	elrab2 3634	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487   <s clts 27592   bday cbday 27593   O cold 27803   L cleft 27805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-1o 8394  df-no 27594  df-bday 27596  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810

This theorem is referenced by:  leftlt  27833  0elleft  27891  addsproplem4  27952  addsproplem6  27954  negsproplem4  28011  negsproplem6  28013  negleft  28038  negright  28039  mulsproplem12  28107