Theorem elleft 28237

Description: Membership in the left set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elleft	⊢ (𝐴 ∈ (L‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Proof of Theorem elleft

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
2		leftval 28235	. 2 ⊢ (L‘𝐵) = {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∣ 𝑥 <s 𝐵}
3	1, 2	elrab2 3648	1 ⊢ (𝐴 ∈ (L‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538   <s clts 27998  bdaycbday 27999  Ocold 28209  Lcleft 28211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-no 28000  df-bday 28002  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216

This theorem is used by:  leftlt  28239  0elleft  28297  addsproplem4  28358  addsproplem6  28360  negsproplem4  28417  negsproplem6  28419  negleft  28444  negright  28445  mulsproplem12  28513