Theorem elleft 28264

Description: Membership in the left set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elleft	⊢ (𝐴 ∈ (L‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Proof of Theorem elleft

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5109	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
2		leftval 28262	. 2 ⊢ (L‘𝐵) = {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∣ 𝑥 <s 𝐵}
3	1, 2	elrab2 3652	1 ⊢ (𝐴 ∈ (L‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555   <s clts 28025  bdaycbday 28026  Ocold 28236  Lcleft 28238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-1o 8501  df-no 28027  df-bday 28029  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243

This theorem is used by:  leftlt  28266  0elleft  28324  addsproplem4  28385  addsproplem6  28387  negsproplem4  28444  negsproplem6  28446  negleft  28471  negright  28472  mulsproplem12  28540