Theorem elleft 27863

Description: Membership in the left set of a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elleft	⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Proof of Theorem elleft

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
2		leftval 27861	. 2 ⊢ ( L ‘𝐵) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∣ 𝑥 <s 𝐵}
3	1, 2	elrab2 3633	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ∧ 𝐴 <s 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488   <s clts 27625   bday cbday 27626   O cold 27835   L cleft 27837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8399  df-no 27627  df-bday 27629  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842

This theorem is referenced by:  leftlt  27865  0elleft  27923  addsproplem4  27984  addsproplem6  27986  negsproplem4  28043  negsproplem6  28045  negleft  28070  negright  28071  mulsproplem12  28139