MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 9673
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnf0.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4 eqid 2731 . . 3 OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))
5 cantnf0.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
6 fconst6g 6780 . . . . 5 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
75, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
83, 5fczfsuppd 9384 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)
91, 2, 3cantnfs 9664 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด โˆง (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)))
107, 8, 9mpbir2and 710 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘†)
11 eqid 2731 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9666 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))))
13 eqidd 2732 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…}))
14 0ex 5307 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
15 fnconstg 6779 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
18 fnsuppeq0 8180 . . . . . . . 8 (((๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
2013, 19mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ…)
21 oieq2 9511 . . . . . 6 (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2322dmeqd 5905 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = dom OrdIso( E , โˆ…))
24 we0 5671 . . . . . 6 E We โˆ…
25 eqid 2731 . . . . . . 7 OrdIso( E , โˆ…) = OrdIso( E , โˆ…)
2625oien 9536 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง E We โˆ…) โ†’ dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
2714, 24, 26mp2an 689 . . . . 5 dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…
28 en0 9016 . . . . 5 (dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…)
2927, 28mpbi 229 . . . 4 dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…
3023, 29eqtrdi 2787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = โˆ…)
3130fveq2d 6895 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…))
3211seqom0g 8459 . . 3 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3314, 32mp1i 13 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3412, 31, 333eqtrd 2775 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   E cep 5579   We wwe 5630   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414   supp csupp 8149  seqฯ‰cseqom 8450   +o coa 8466   ยทo comu 8467   โ†‘o coe 8468   โ‰ˆ cen 8939   finSupp cfsupp 9364  OrdIsocoi 9507   CNF ccnf 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-seqom 8451  df-map 8825  df-en 8943  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-oi 9508  df-cnf 9660
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9699  cantnfresb  42377
  Copyright terms: Public domain W3C validator