Theorem cantnf0 9669

Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnf0.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cantnf0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5		cantnf0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6		fconst6g 6780	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
8	3, 5	fczfsuppd 9380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
9	1, 2, 3	cantnfs 9660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
10	7, 8, 9	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11		eqid 2732	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	cantnfval 9662	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13		eqidd 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14		0ex 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fnconstg 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
17	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
18		fnsuppeq0 8176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
20	13, 19	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21		oieq2 9507	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
23	22	dmeqd 5905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24		we0 5671	. . . . . 6 ⊢ E We ∅
25		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
26	25	oien 9532	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
27	14, 24, 26	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28		en0 9012	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
29	27, 28	mpbi 229	. . . 4 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) = ∅
30	23, 29	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
31	30	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
32	11	seqom0g 8455	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
33	14, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
34	12, 31, 33	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   E cep 5579   We wwe 5630   × cxp 5674  dom cdm 5676  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   supp csupp 8145  seq_ωcseqom 8446   +_o coa 8462   ·_o comu 8463   ↑_o coe 8464   ≈ cen 8935   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656

This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9695  cantnfresb  42064