MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 8822
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnf0.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2799 . . 3 OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5 cantnf0.a . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6 fconst6g 6309 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
83, 5fczfsuppd 8535 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
91, 2, 3cantnfs 8813 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
107, 8, 9mpbir2and 705 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11 eqid 2799 . . 3 seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 8815 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13 eqidd 2800 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14 0ex 4984 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fnconstg 6308 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
18 fnsuppeq0 7561 . . . . . . . 8 (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1491 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
2013, 19mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21 oieq2 8660 . . . . . 6 (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2322dmeqd 5529 . . . 4 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24 we0 5307 . . . . . 6 E We ∅
25 eqid 2799 . . . . . . 7 OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
2625oien 8685 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
2714, 24, 26mp2an 684 . . . . 5 dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28 en0 8258 . . . . 5 (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
2927, 28mpbi 222 . . . 4 dom OrdIso( E , ∅) = ∅
3023, 29syl6eq 2849 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
3130fveq2d 6415 . 2 (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅))
3211seqom0g 7790 . . 3 (∅ ∈ V → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3314, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3412, 31, 333eqtrd 2837 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  c0 4115  {csn 4368   class class class wbr 4843   E cep 5224   We wwe 5270   × cxp 5310  dom cdm 5312  Oncon0 5941   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880   supp csupp 7532  seq𝜔cseqom 7781   +𝑜 coa 7796   ·𝑜 comu 7797  𝑜 coe 7798  cen 8192   finSupp cfsupp 8517  OrdIsocoi 8656   CNF ccnf 8808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-seqom 7782  df-map 8097  df-en 8196  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-cnf 8809
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  8848
  Copyright terms: Public domain W3C validator