MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 9433
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnf0.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2738 . . 3 OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5 cantnf0.a . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6 fconst6g 6663 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
83, 5fczfsuppd 9146 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
91, 2, 3cantnfs 9424 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
107, 8, 9mpbir2and 710 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11 eqid 2738 . . 3 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9426 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13 eqidd 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14 0ex 5231 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fnconstg 6662 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
18 fnsuppeq0 8008 . . . . . . . 8 (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
2013, 19mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21 oieq2 9272 . . . . . 6 (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2322dmeqd 5814 . . . 4 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24 we0 5584 . . . . . 6 E We ∅
25 eqid 2738 . . . . . . 7 OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
2625oien 9297 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
2714, 24, 26mp2an 689 . . . . 5 dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28 en0 8803 . . . . 5 (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
2927, 28mpbi 229 . . . 4 dom OrdIso( E , ∅) = ∅
3023, 29eqtrdi 2794 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
3130fveq2d 6778 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
3211seqom0g 8287 . . 3 (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3314, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3412, 31, 333eqtrd 2782 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074   E cep 5494   We wwe 5543   × cxp 5587  dom cdm 5589  Oncon0 6266   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277   supp csupp 7977  seqωcseqom 8278   +o coa 8294   ·o comu 8295  o coe 8296  cen 8730   finSupp cfsupp 9128  OrdIsocoi 9268   CNF ccnf 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seqom 8279  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-cnf 9420
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9459
  Copyright terms: Public domain W3C validator