Theorem cantnf0 9628

Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnf0.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cantnf0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5		cantnf0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6		fconst6g 6749	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
8	3, 5	fczfsuppd 9337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
9	1, 2, 3	cantnfs 9619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
10	7, 8, 9	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	cantnfval 9621	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14		0ex 5262	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fnconstg 6748	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
17	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
18		fnsuppeq0 8171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
20	13, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21		oieq2 9466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
23	22	dmeqd 5869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24		we0 5633	. . . . . 6 ⊢ E We ∅
25		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
26	25	oien 9491	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
27	14, 24, 26	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28		en0 8989	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
29	27, 28	mpbi 230	. . . 4 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) = ∅
30	23, 29	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
31	30	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
32	11	seqom0g 8424	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
33	14, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
34	12, 31, 33	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   E cep 5537   We wwe 5590   × cxp 5636  dom cdm 5638  Oncon0 6332   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   supp csupp 8139  seq_ωcseqom 8415   +_o coa 8431   ·_o comu 8432   ↑_o coe 8433   ≈ cen 8915   finSupp cfsupp 9312  OrdIsocoi 9462   CNF ccnf 9614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-map 8801  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-cnf 9615

This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9654  cantnfresb  43313