MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 9670
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnf0.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4 eqid 2733 . . 3 OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))
5 cantnf0.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
6 fconst6g 6781 . . . . 5 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
75, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
83, 5fczfsuppd 9381 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)
91, 2, 3cantnfs 9661 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด โˆง (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)))
107, 8, 9mpbir2and 712 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘†)
11 eqid 2733 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9663 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…}))
14 0ex 5308 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
15 fnconstg 6780 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
18 fnsuppeq0 8177 . . . . . . . 8 (((๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
2013, 19mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ…)
21 oieq2 9508 . . . . . 6 (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2322dmeqd 5906 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = dom OrdIso( E , โˆ…))
24 we0 5672 . . . . . 6 E We โˆ…
25 eqid 2733 . . . . . . 7 OrdIso( E , โˆ…) = OrdIso( E , โˆ…)
2625oien 9533 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง E We โˆ…) โ†’ dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
2714, 24, 26mp2an 691 . . . . 5 dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…
28 en0 9013 . . . . 5 (dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…)
2927, 28mpbi 229 . . . 4 dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…
3023, 29eqtrdi 2789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = โˆ…)
3130fveq2d 6896 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…))
3211seqom0g 8456 . . 3 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3314, 32mp1i 13 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3412, 31, 333eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   E cep 5580   We wwe 5631   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8447   +o coa 8463   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465   โ‰ˆ cen 8936   finSupp cfsupp 9361  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9696  cantnfresb  42074
  Copyright terms: Public domain W3C validator