MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 9211
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnf0.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2738 . . 3 OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5 cantnf0.a . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6 fconst6g 6567 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
83, 5fczfsuppd 8924 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
91, 2, 3cantnfs 9202 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
107, 8, 9mpbir2and 713 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11 eqid 2738 . . 3 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9204 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13 eqidd 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14 0ex 5175 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fnconstg 6566 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
18 fnsuppeq0 7887 . . . . . . . 8 (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
2013, 19mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21 oieq2 9050 . . . . . 6 (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2322dmeqd 5748 . . . 4 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24 we0 5520 . . . . . 6 E We ∅
25 eqid 2738 . . . . . . 7 OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
2625oien 9075 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
2714, 24, 26mp2an 692 . . . . 5 dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28 en0 8618 . . . . 5 (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
2927, 28mpbi 233 . . . 4 dom OrdIso( E , ∅) = ∅
3023, 29eqtrdi 2789 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
3130fveq2d 6678 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
3211seqom0g 8121 . . 3 (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3314, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3412, 31, 333eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  c0 4211  {csn 4516   class class class wbr 5030   E cep 5433   We wwe 5482   × cxp 5523  dom cdm 5525  Oncon0 6172   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172   supp csupp 7856  seqωcseqom 8112   +o coa 8128   ·o comu 8129  o coe 8130  cen 8552   finSupp cfsupp 8906  OrdIsocoi 9046   CNF ccnf 9197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-seqom 8113  df-map 8439  df-en 8556  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-cnf 9198
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9237
  Copyright terms: Public domain W3C validator