Theorem cantnf0 9596

Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnf0.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cantnf0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5		cantnf0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6		fconst6g 6729	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
8	3, 5	fczfsuppd 9299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
9	1, 2, 3	cantnfs 9587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
10	7, 8, 9	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	cantnfval 9589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14		0ex 5242	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fnconstg 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
17	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
18		fnsuppeq0 8142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
20	13, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21		oieq2 9428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
23	22	dmeqd 5860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24		we0 5626	. . . . . 6 ⊢ E We ∅
25		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
26	25	oien 9453	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
27	14, 24, 26	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28		en0 8965	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
29	27, 28	mpbi 230	. . . 4 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) = ∅
30	23, 29	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
31	30	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
32	11	seqom0g 8395	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
33	14, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
34	12, 31, 33	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   E cep 5530   We wwe 5583   × cxp 5629  dom cdm 5631  Oncon0 6323   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   supp csupp 8110  seq_ωcseqom 8386   +_o coa 8402   ·_o comu 8403   ↑_o coe 8404   ≈ cen 8890   finSupp cfsupp 9274  OrdIsocoi 9424   CNF ccnf 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-seqom 8387  df-map 8775  df-en 8894  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-cnf 9583

This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9622  cantnfresb  43752