MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 9619
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnf0.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4 eqid 2733 . . 3 OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))
5 cantnf0.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
6 fconst6g 6735 . . . . 5 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
75, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
83, 5fczfsuppd 9331 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)
91, 2, 3cantnfs 9610 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด โˆง (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)))
107, 8, 9mpbir2and 712 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ ๐‘†)
11 eqid 2733 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9612 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…}))
14 0ex 5268 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
15 fnconstg 6734 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
18 fnsuppeq0 8127 . . . . . . . 8 (((๐ต ร— {โˆ…}) Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†” (๐ต ร— {โˆ…}) = (๐ต ร— {โˆ…})))
2013, 19mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ…)
21 oieq2 9457 . . . . . 6 (((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ… โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = OrdIso( E , โˆ…))
2322dmeqd 5865 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = dom OrdIso( E , โˆ…))
24 we0 5632 . . . . . 6 E We โˆ…
25 eqid 2733 . . . . . . 7 OrdIso( E , โˆ…) = OrdIso( E , โˆ…)
2625oien 9482 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง E We โˆ…) โ†’ dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
2714, 24, 26mp2an 691 . . . . 5 dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ…
28 en0 8963 . . . . 5 (dom OrdIso( E , โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…)
2927, 28mpbi 229 . . . 4 dom OrdIso( E , โˆ…) = โˆ…
3023, 29eqtrdi 2789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…)) = โˆ…)
3130fveq2d 6850 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…))
3211seqom0g 8406 . . 3 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3314, 32mp1i 13 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜(OrdIso( E , ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3412, 31, 333eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   E cep 5540   We wwe 5591   ร— cxp 5635  dom cdm 5637  Oncon0 6321   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415   โ‰ˆ cen 8886   finSupp cfsupp 9311  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9645  cantnfresb  41706
  Copyright terms: Public domain W3C validator