Theorem cantnf0 9704

Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnf0.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cantnf0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2727	. . 3 ⊢ OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5		cantnf0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6		fconst6g 6789	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
8	3, 5	fczfsuppd 9415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
9	1, 2, 3	cantnfs 9695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
10	7, 8, 9	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11		eqid 2727	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	cantnfval 9697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13		eqidd 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14		0ex 5309	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fnconstg 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
17	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
18		fnsuppeq0 8201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
20	13, 19	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21		oieq2 9542	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
23	22	dmeqd 5910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24		we0 5675	. . . . . 6 ⊢ E We ∅
25		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
26	25	oien 9567	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
27	14, 24, 26	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28		en0 9042	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
29	27, 28	mpbi 229	. . . 4 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) = ∅
30	23, 29	eqtrdi 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
31	30	fveq2d 6904	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
32	11	seqom0g 8481	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
33	14, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·o ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
34	12, 31, 33	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  ∅c0 4324  {csn 4630   class class class wbr 5150   E cep 5583   We wwe 5634   × cxp 5678  dom cdm 5680  Oncon0 6372   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426   supp csupp 8169  seq_ωcseqom 8472   +_o coa 8488   ·_o comu 8489   ↑_o coe 8490   ≈ cen 8965   finSupp cfsupp 9391  OrdIsocoi 9538   CNF ccnf 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-seqom 8473  df-map 8851  df-en 8969  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-oi 9539  df-cnf 9691

This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  9730  cantnfresb  42756