Theorem fiint 9091

Description: Equivalent ways of stating the finite intersection property. We show two ways of saying, "the intersection of elements in every finite nonempty subcollection of 𝐴 is in 𝐴". This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use the left-hand version of this axiom and others the right-hand version, but as our proof here shows, their "intuitively obvious" equivalence can be non-trivial to establish formally. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
fiint	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem fiint

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑦)
2		ensym 8789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝑥)
3		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ≈ 𝑥 ↔ ∅ ≈ 𝑥))
4	3	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥)))
5	4	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	5	albidv 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
7		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≈ 𝑥 ↔ 𝑣 ≈ 𝑥))
8	7	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥)))
9	8	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10	9	albidv 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = suc 𝑣 → (𝑦 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑣 ≈ 𝑥))
12	11	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = suc 𝑣 → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥)))
13	12	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = suc 𝑣 → ((((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
14	13	albidv 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = suc 𝑣 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
15		ensym 8789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∅ ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ∅)
16		en0 8803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∅ ≈ 𝑥 → 𝑥 = ∅)
18	17	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ ∅ ≈ 𝑥) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
20	19	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
21		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
22		pm3.24 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ (𝑥 = ∅ ∧ ¬ 𝑥 = ∅)
23	22	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
24	21, 23	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	ax-gen 1798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
28		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴
29		nfa1 2148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
30		bren 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (suc 𝑣 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥)
31		ssel 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝑥 → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴))
32		f1of 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:suc 𝑣⟶𝑥)
33		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑣 ∈ V
34	33	sucid 6345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑣 ∈ suc 𝑣
35		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓:suc 𝑣⟶𝑥 ∧ 𝑣 ∈ suc 𝑣) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝑥)
36	32, 34, 35	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝑥)
37	31, 36	impel 506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴)
39		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓 “ 𝑣) = ∅)
40		imassrn 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 “ 𝑣) ⊆ ran 𝑓
41		dff1o2 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 ↔ (𝑓 Fn suc 𝑣 ∧ Fun ◡𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝑥))
42	41	simp3bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
43	40, 42	sseqtrid 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝑥)
44		sstr2 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴))
46	45	anim1d 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅)))
47		f1of1 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:suc 𝑣–1-1→𝑥)
48		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 𝑥 ∈ V
49		sssucid 6343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑣 ⊆ suc 𝑣
50		f1imaen2g 8801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:suc 𝑣–1-1→𝑥 ∧ 𝑥 ∈ V) ∧ (𝑣 ⊆ suc 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑓 “ 𝑣) ≈ 𝑣)
51	49, 33, 50	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑓:suc 𝑣–1-1→𝑥 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑓 “ 𝑣) ≈ 𝑣)
52	47, 48, 51	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (𝑓 “ 𝑣) ≈ 𝑣)
53	52	ensymd 8791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣))
54	46, 53	jctird 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) → (((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣))))
55		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
56	55	imaex 7763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 “ 𝑣) ∈ V
57		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴))
58		neeq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → (𝑥 ≠ ∅ ↔ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅))
59	57, 58	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅)))
60		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → (𝑣 ≈ 𝑥 ↔ 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣)))
61	59, 60	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) ↔ (((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣))))
62		inteq 4882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → ∩ 𝑥 = ∩ (𝑓 “ 𝑣))
63	62	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴))
64	61, 63	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑣) → ((((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣)) → ∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴)))
65	56, 64	spcv 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝑓 “ 𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓 “ 𝑣)) → ∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴))
66	54, 65	sylan9 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) → ∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴))
67		ineq1 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = ∩ (𝑓 “ 𝑣) → (𝑧 ∩ 𝑤) = (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ 𝑤))
68	67	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = ∩ (𝑓 “ 𝑣) → ((𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ 𝑤) ∈ 𝐴))
69		ineq2 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑣) → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ 𝑤) = (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)))
70	69	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑣) → ((∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))
71	68, 70	rspc2v 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))
72	71	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∈ 𝐴 → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴)))
73	66, 72	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))))
74	73	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))))
75	74	exp5c 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))))))
76	75	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))))))
77	76	imp43 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → ((𝑓 “ 𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴)))
78	39, 77	syl5bir 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → (¬ (𝑓 “ 𝑣) = ∅ → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴)))
79		inteq 4882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → ∩ (𝑓 “ 𝑣) = ∩ ∅)
80		int0 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ∩ ∅ = V
81	79, 80	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → ∩ (𝑓 “ 𝑣) = V)
82	81	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) = (V ∩ (𝑓‘𝑣)))
83		ssv 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓‘𝑣) ⊆ V
84		sseqin2 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑣) ⊆ V ↔ (V ∩ (𝑓‘𝑣)) = (𝑓‘𝑣))
85	83, 84	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (V ∩ (𝑓‘𝑣)) = (𝑓‘𝑣)
86	82, 85	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) = (𝑓‘𝑣))
87	86	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → ((∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴))
88	87	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) = ∅ → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))
89	78, 88	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐴 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴))
90	38, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴)
91		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓‘𝑣) ∈ V
92	91	intunsn 4920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ∩ ((𝑓 “ 𝑣) ∪ {(𝑓‘𝑣)}) = (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣))
93		f1ofn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → 𝑓 Fn suc 𝑣)
94		fnsnfv 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓 Fn suc 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ suc 𝑣) → {(𝑓‘𝑣)} = (𝑓 “ {𝑣}))
95	93, 34, 94	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → {(𝑓‘𝑣)} = (𝑓 “ {𝑣}))
96	95	uneq2d 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((𝑓 “ 𝑣) ∪ {(𝑓‘𝑣)}) = ((𝑓 “ 𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣})))
97		df-suc 6272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ suc 𝑣 = (𝑣 ∪ {𝑣})
98	97	imaeq2i 5967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 “ suc 𝑣) = (𝑓 “ (𝑣 ∪ {𝑣}))
99		imaundi 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 “ (𝑣 ∪ {𝑣})) = ((𝑓 “ 𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣}))
100	98, 99	eqtr2i 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓 “ 𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣})) = (𝑓 “ suc 𝑣)
101	96, 100	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((𝑓 “ 𝑣) ∪ {(𝑓‘𝑣)}) = (𝑓 “ suc 𝑣))
102		f1ofo 6723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:suc 𝑣–onto→𝑥)
103		foima 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–onto→𝑥 → (𝑓 “ suc 𝑣) = 𝑥)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (𝑓 “ suc 𝑣) = 𝑥)
105	101, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((𝑓 “ 𝑣) ∪ {(𝑓‘𝑣)}) = 𝑥)
106	105	inteqd 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ∩ ((𝑓 “ 𝑣) ∪ {(𝑓‘𝑣)}) = ∩ 𝑥)
107	92, 106	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) = ∩ 𝑥)
108	107	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → ((∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
109	108	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → ((∩ (𝑓 “ 𝑣) ∩ (𝑓‘𝑣)) ∈ 𝐴 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
110	90, 109	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)
111	110	exp43 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
112	111	exlimdv 1936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:suc 𝑣–1-1-onto→𝑥 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
113	30, 112	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (suc 𝑣 ≈ 𝑥 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
114	113	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
115	114	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
116	115	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
117	28, 29, 116	alrimd 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
119	6, 10, 14, 27, 118	finds2 7747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
120		sp 2176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
121	119, 120	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
122	121	exp4a 432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ≈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
123	122	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ≈ 𝑥 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
124	2, 123	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))))
125	124	rexlimiv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
126	1, 125	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
127	126	com13 88	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ Fin → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴)))
128	127	impd 411	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
129	128	alrimiv 1930	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
130		zfpair2 5353	. . . . . 6 ⊢ {𝑧, 𝑤} ∈ V
131		sseq1 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ {𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴))
132		neeq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → (𝑥 ≠ ∅ ↔ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅))
133	131, 132	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅)))
134		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin))
135	133, 134	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ∧ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin)))
136		inteq 4882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝑧, 𝑤})
137	136	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∩ {𝑧, 𝑤} ∈ 𝐴))
138	135, 137	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧, 𝑤} → ((((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ∧ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin) → ∩ {𝑧, 𝑤} ∈ 𝐴)))
139	130, 138	spcv 3544	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ∧ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin) → ∩ {𝑧, 𝑤} ∈ 𝐴))
140		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
141		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
142	140, 141	prss 4753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ↔ {𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴)
143	140	prnz 4713	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅
144	143	biantru 530	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅))
145		prfi 9089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin
146	145	biantru 530	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ↔ (({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ∧ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin))
147	142, 144, 146	3bitrri 298	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧, 𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧, 𝑤} ≠ ∅) ∧ {𝑧, 𝑤} ∈ Fin) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
148	140, 141	intpr 4913	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑧, 𝑤} = (𝑧 ∩ 𝑤)
149	148	eleq1i 2829	. . . . 5 ⊢ (∩ {𝑧, 𝑤} ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)
150	139, 147, 149	3imtr3g 295	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴))
151	150	ralrimivv 3122	. . 3 ⊢ (∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)
152	129, 151	impbii 208	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
153		ineq1 4139	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝑧 ∩ 𝑦))
154	153	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴))
155		ineq2 4140	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑦) = (𝑧 ∩ 𝑤))
156	155	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴))
157	154, 156	cbvral2vw 3396	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 ∩ 𝑤) ∈ 𝐴)
158		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin))
159	158	imbi1i 350	. . 3 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
160	159	albii 1822	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))
161	152, 157, 160	3bitr4i 303	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ∩ cint 4879   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   “ cima 5592  suc csuc 6268  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≈ cen 8730  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  dffi2  9182  istop2g  22045  neificl  35911