MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entri2 9969
Description: Trichotomy of dominance and strict dominance. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entri2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem entri2
StepHypRef Expression
1 entric 9968 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 brdom2 8528 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
32orbi1i 909 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
4 df-3or 1082 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
53, 4bitr4i 279 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴))
61, 5sylibr 235 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  w3o 1080  wcel 2107   class class class wbr 5063  cen 8495  cdom 8496  csdm 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-ac2 9874
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-card 9357  df-ac 9531
This theorem is referenced by:  entri3  9970
  Copyright terms: Public domain W3C validator