MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entric 10490
Description: Trichotomy of equinumerosity and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 8 of [Suppes] p. 242. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entric ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem entric
StepHypRef Expression
1 domtri 10489 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
21biimprd 247 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
3 brdom2 8919 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
42, 3syl6ib 250 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
54con1d 145 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐵𝐴))
65orrd 861 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
7 df-3or 1088 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
86, 7sylibr 233 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086  wcel 2106   class class class wbr 5104  cen 8877  cdom 8878  csdm 8879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-ac2 10396
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-card 9872  df-ac 10049
This theorem is referenced by:  entri2  10491  satfun  33896
  Copyright terms: Public domain W3C validator