Theorem entric 10443

Description: Trichotomy of equinumerosity and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 8 of [Suppes] p. 242. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
entric	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem entric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtri 10442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
2	1	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3		brdom2 8899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	2, 3	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵)))
5	4	con1d 145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴))
6	5	orrd 863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) ∨ 𝐵 ≺ 𝐴))
7		df-3or 1087	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≺ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) ∨ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	6, 7	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086   ≈ cen 8861   ≼ cdom 8862   ≺ csdm 8863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-ac2 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-card 9827  df-ac 10002

This theorem is referenced by:  entri2  10444  satfun  35447