MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entri3 9973
Description: Trichotomy of dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Part of Proposition 4.42(d) of [Mendelson] p. 275. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entri3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem entri3
StepHypRef Expression
1 entri2 9972 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 sdomdom 8529 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
32orim2i 906 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
41, 3syl 17 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  wcel 2107   class class class wbr 5062  cdom 8499  csdm 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-ac2 9877
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-card 9360  df-ac 9534
This theorem is referenced by:  alephval2  9986
  Copyright terms: Public domain W3C validator