MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entri3 10052
Description: Trichotomy of dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Part of Proposition 4.42(d) of [Mendelson] p. 275. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entri3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem entri3
StepHypRef Expression
1 entri2 10051 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 sdomdom 8576 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
32orim2i 910 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
41, 3syl 17 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846  wcel 2113   class class class wbr 5027  cdom 8546  csdm 8547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-ac2 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-card 9434  df-ac 9609
This theorem is referenced by:  alephval2  10065
  Copyright terms: Public domain W3C validator