MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entri3 10558
Description: Trichotomy of dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Part of Proposition 4.42(d) of [Mendelson] p. 275. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entri3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem entri3
StepHypRef Expression
1 entri2 10557 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 sdomdom 8980 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
32orim2i 907 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
41, 3syl 17 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 843  wcel 2104   class class class wbr 5149  cdom 8941  csdm 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-ac2 10462
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-card 9938  df-ac 10115
This theorem is referenced by:  alephval2  10571
  Copyright terms: Public domain W3C validator