Theorem fiinf2g 9409

Description: A finite set satisfies the conditions to have an infimum. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinf2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fiinf2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soss 5548	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
2		simp1 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐵)
3		fiinfg 9408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
4	2, 3	infeu 9405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
5	4	3exp 1126	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))))
6	1, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
7	6	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
8	7	3imp2 1357	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
9		reurex 3350	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
10		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
11	10	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
12	11	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
13	12	ralrimivw 3137	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
14	13	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
15	14	anim2d 619	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
16	15	reximia 3076	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
17	8, 9, 16	3syl 18	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074   Or wor 5527  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7810  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  ballotlemsup  34699