MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinf2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinf2g 9494
Description: A finite set satisfies the conditions to have an infimum. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiinf2g ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fiinf2g
StepHypRef Expression
1 soss 5601 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
2 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐵)
3 fiinfg 9493 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
42, 3infeu 9490 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
543exp 1116 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))))
61, 5syl6 35 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
76com4l 92 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐴 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
873imp2 1346 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
9 reurex 3374 . 2 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
10 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
1110rspcev 3606 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)
1211ex 412 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1312ralrimivw 3144 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1413a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1514anim2d 611 . . 3 (𝑥𝐵 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
1615reximia 3075 . 2 (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
178, 9, 163syl 18 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  ∃!wreu 3368  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141   Or wor 5580  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  ballotlemsup  34032
  Copyright terms: Public domain W3C validator