Theorem fiinf2g 9531

Description: A finite set satisfies the conditions to have an infimum. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinf2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fiinf2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soss 5614	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
2		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐵)
3		fiinfg 9530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
4	2, 3	infeu 9527	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
5	4	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))))
6	1, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
7	6	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
8	7	3imp2 1346	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
9		reurex 3378	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
10		breq1 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
11	10	rspcev 3611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
12	11	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
13	12	ralrimivw 3147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
14	13	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
15	14	anim2d 610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
16	15	reximia 3078	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
17	8, 9, 16	3syl 18	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ∃!wreu 3372   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326   class class class wbr 5152   Or wor 5593  Fincfn 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-en 8971  df-fin 8974

This theorem is referenced by:  ballotlemsup  34157