MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinf2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinf2g 9477
Description: A finite set satisfies the conditions to have an infimum. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiinf2g ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fiinf2g
StepHypRef Expression
1 soss 5601 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
2 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐵)
3 fiinfg 9476 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
42, 3infeu 9473 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
543exp 1119 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))))
61, 5syl6 35 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
76com4l 92 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐴 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))))
873imp2 1349 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
9 reurex 3379 . 2 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
10 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
1110rspcev 3609 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)
1211ex 413 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1312ralrimivw 3149 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1413a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1514anim2d 612 . . 3 (𝑥𝐵 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
1615reximia 3080 . 2 (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
178, 9, 163syl 18 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  ∃!wreu 3373  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5141   Or wor 5580  Fincfn 8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-en 8923  df-fin 8926
This theorem is referenced by:  ballotlemsup  33334
  Copyright terms: Public domain W3C validator