Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fimaxre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre4 41904
Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fimaxre4.1 𝑥𝜑
fimaxre4.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fimaxre4.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fimaxre4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fimaxre4
StepHypRef Expression
1 fimaxre4.2 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fimaxre4.1 . . 3 𝑥𝜑
3 fimaxre4.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ))
52, 4ralrimi 3211 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6 fimaxre3 11581 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
71, 5, 6syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wnf 1785  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134   class class class wbr 5053  Fincfn 8501  cr 10530  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675
This theorem is referenced by:  limsupubuzlem  42220
  Copyright terms: Public domain W3C validator