Theorem fimaxre3 12102

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3101	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
3	2	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
4	3	rexlimivw 3135	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
7	6	abssdv 4021	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8		abrexfi 9266	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9		fimaxre2 12101	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
11		r19.23v 3165	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
12	11	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
13		ralcom4 3264	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
14		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
15	14	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
16	15	ralab 3653	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
17	12, 13, 16	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
18		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐵 ≤ 𝑥
19		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
20	18, 19	ceqsalg 3478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	20	ralimi 3075	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
22		ralbi 3093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
24	17, 23	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
25	24	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
27	10, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  Fincfn 8897  ℝcr 11039   ≤ cle 11181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186

This theorem is referenced by:  fsequb  13912  fsequb2  13913  caubnd  15296  limsupgre  15418  vdwnnlem3  16939  cnheibor  24927  bndth  24930  ovoliunlem2  25477  dchrisum  27476  ssfiunibd  45700  fimaxre4  45788  uzublem  45817  fourierdlem70  46563  fourierdlem71  46564  fourierdlem80  46573