Theorem fimaxre3 12162

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3114	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
3	2	biimparc 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
4	3	rexlimivw 3151	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	ex 413	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
7	6	abssdv 4065	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8		abrexfi 9354	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9		fimaxre2 12161	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
11		r19.23v 3182	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
12	11	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
13		ralcom4 3283	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
14		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
15	14	rexbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
16	15	ralab 3687	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
17	12, 13, 16	3bitr4i 302	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
18		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐵 ≤ 𝑥
19		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
20	18, 19	ceqsalg 3507	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	20	ralimi 3083	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
22		ralbi 3103	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
24	17, 23	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
25	24	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
27	10, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  Fincfn 8941  ℝcr 11111   ≤ cle 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256

This theorem is referenced by:  fsequb  13942  fsequb2  13943  caubnd  15307  limsupgre  15427  vdwnnlem3  16932  cnheibor  24478  bndth  24481  ovoliunlem2  25027  dchrisum  27002  ssfiunibd  44098  fimaxre4  44190  uzublem  44219  fourierdlem70  44971  fourierdlem71  44972  fourierdlem80  44981