Theorem fimaxre3 11851

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3183	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
3	2	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
4	3	rexlimivw 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
7	6	abssdv 3998	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8		abrexfi 9049	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9		fimaxre2 11850	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
11		r19.23v 3207	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
12	11	albii 1823	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
13		ralcom4 3161	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
14		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
15	14	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
16	15	ralab 3621	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
17	12, 13, 16	3bitr4i 302	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
18		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐵 ≤ 𝑥
19		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
20	18, 19	ceqsalg 3454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	20	ralimi 3086	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
22		ralbi 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
24	17, 23	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
25	24	rexbidv 3225	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
27	10, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  Fincfn 8691  ℝcr 10801   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  fsequb  13623  fsequb2  13624  caubnd  14998  limsupgre  15118  vdwnnlem3  16626  cnheibor  24024  bndth  24027  ovoliunlem2  24572  dchrisum  26545  ssfiunibd  42738  fimaxre4  42831  uzublem  42860  fourierdlem70  43607  fourierdlem71  43608  fourierdlem80  43617