Theorem fimaxre3 11590

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3257	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2		eleq1 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
3	2	biimparc 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
4	3	rexlimivw 3285	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	ex 415	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
7	6	abssdv 4048	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8		abrexfi 8827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9		fimaxre2 11589	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
11		r19.23v 3282	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
12	11	albii 1819	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
13		ralcom4 3238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
14		eqeq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
15	14	rexbidv 3300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
16	15	ralab 3687	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
17	12, 13, 16	3bitr4i 305	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
18		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐵 ≤ 𝑥
19		breq1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
20	18, 19	ceqsalg 3532	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	20	ralimi 3163	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
22		ralbi 3170	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
24	17, 23	syl5bbr 287	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
25	24	rexbidv 3300	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
27	10, 26	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1534   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {cab 2802  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  Fincfn 8512  ℝcr 10539   ≤ cle 10679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-addrcl 10601  ax-rnegex 10611  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684

This theorem is referenced by:  fsequb  13346  fsequb2  13347  caubnd  14721  limsupgre  14841  vdwnnlem3  16336  cnheibor  23562  bndth  23565  ovoliunlem2  24107  dchrisum  26071  ssfiunibd  41582  fimaxre4  41680  uzublem  41710  fourierdlem70  42468  fourierdlem71  42469  fourierdlem80  42478