Theorem fimaxre3 12068

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3095	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2		eleq1 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
3	2	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
4	3	rexlimivw 3129	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
7	6	abssdv 4014	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8		abrexfi 9236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9		fimaxre2 12067	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
11		r19.23v 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
12	11	albii 1820	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
13		ralcom4 3258	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
14		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
15	14	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
16	15	ralab 3647	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥))
17	12, 13, 16	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥)
18		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐵 ≤ 𝑥
19		breq1 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
20	18, 19	ceqsalg 3472	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	20	ralimi 3069	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
22		ralbi 3087	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑤(𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
24	17, 23	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
25	24	rexbidv 3156	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
27	10, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  Fincfn 8869  ℝcr 11005   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  fsequb  13882  fsequb2  13883  caubnd  15266  limsupgre  15388  vdwnnlem3  16909  cnheibor  24881  bndth  24884  ovoliunlem2  25431  dchrisum  27430  ssfiunibd  45409  fimaxre4  45498  uzublem  45527  fourierdlem70  46273  fourierdlem71  46274  fourierdlem80  46283