MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre3 12144
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.29 3114 . . . . . 6 ((∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
32biimparc 480 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
43rexlimivw 3151 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
51, 4syl 17 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
65ex 413 . . . 4 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ))
76abssdv 4062 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8 abrexfi 9337 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9 fimaxre2 12143 . . 3 (({𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
107, 8, 9syl2anr 597 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
11 r19.23v 3182 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ (∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
1211albii 1821 . . . . . 6 (∀𝑤𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
13 ralcom4 3283 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
14 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
1514rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵))
1615ralab 3684 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
1712, 13, 163bitr4i 302 . . . . 5 (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
18 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑤 𝐵𝑥
19 breq1 5145 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝑥𝐵𝑥))
2018, 19ceqsalg 3506 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥))
2120ralimi 3083 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥))
22 ralbi 3103 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥) → (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2417, 23bitr3id 284 . . . 4 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2524rexbidv 3178 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2625adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2710, 26mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wral 3061  wrex 3070  wss 3945   class class class wbr 5142  Fincfn 8924  cr 11093  cle 11233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-addrcl 11155  ax-rnegex 11165  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-1o 8450  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238
This theorem is referenced by:  fsequb  13924  fsequb2  13925  caubnd  15289  limsupgre  15409  vdwnnlem3  16914  cnheibor  24402  bndth  24405  ovoliunlem2  24951  dchrisum  26924  ssfiunibd  43856  fimaxre4  43948  uzublem  43977  fourierdlem70  44729  fourierdlem71  44730  fourierdlem80  44739
  Copyright terms: Public domain W3C validator