MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin17 9809
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin17
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3894 . . . . 5 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2 enfi 8722 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ Fin))
3 onfin 8698 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ On → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
42, 3sylan9bbr 514 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
54biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑏 ∈ ω))
65con3d 155 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (¬ 𝑏 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
76impancom 455 . . . . 5 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
81, 7sylbi 220 . . . 4 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
98rexlimiv 3242 . . 3 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
109con2i 141 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
11 isfin7 9716 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
1210, 11mpbird 260 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wcel 2112  wrex 3110  cdif 3881   class class class wbr 5033  Oncon0 6163  ωcom 7564  cen 8493  Fincfn 8496  FinVIIcfin7 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fin7 9706
This theorem is referenced by:  fin67  9810  isfin7-2  9811
  Copyright terms: Public domain W3C validator