MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin17 10434
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin17
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3961 . . . . 5 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2 enfi 9227 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ Fin))
3 onfin 9267 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ On → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
42, 3sylan9bbr 510 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
54biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑏 ∈ ω))
65con3d 152 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (¬ 𝑏 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
76impancom 451 . . . . 5 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
81, 7sylbi 217 . . . 4 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
98rexlimiv 3148 . . 3 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
109con2i 139 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
11 isfin7 10341 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
1210, 11mpbird 257 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2108  wrex 3070  cdif 3948   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985  FinVIIcfin7 10324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fin7 10331
This theorem is referenced by:  fin67  10435  isfin7-2  10436
  Copyright terms: Public domain W3C validator