MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin17 10432
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin17
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3973 . . . . 5 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2 enfi 9225 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ Fin))
3 onfin 9265 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ On → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
42, 3sylan9bbr 510 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
54biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑏 ∈ ω))
65con3d 152 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (¬ 𝑏 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
76impancom 451 . . . . 5 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
81, 7sylbi 217 . . . 4 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
98rexlimiv 3146 . . 3 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
109con2i 139 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
11 isfin7 10339 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
1210, 11mpbird 257 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2106  wrex 3068  cdif 3960   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  ωcom 7887  cen 8981  Fincfn 8984  FinVIIcfin7 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fin7 10329
This theorem is referenced by:  fin67  10433  isfin7-2  10434
  Copyright terms: Public domain W3C validator