Theorem fineqvpow 35079

Description: If the Axiom of Infinity is negated, then the Axiom of Power Sets becomes redundant. (Contributed by BTernaryTau, 12-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvpow	⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fineqvpow

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw 4561	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥}
2		vex 3448	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		eleq2w2 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ V))
4		pwfi 9244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	bitr3di 286	. . . . . . . 8 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 5	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7	6	elexd 3468	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V)
9		elisset 2810	. . . . 5 ⊢ ({𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
11		sseq1 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
12	11	eqabbw 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
13	12	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
14	10, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
15		biimpr 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	15	alimi 1811	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	eximi 1835	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
19		df-ss 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥))
20	19	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
21	20	albii 1819	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
23	18, 22	sylib 218	1 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by: (None)