Theorem fineqvpow 35415

Description: If all sets are finite, then the Axiom of Power Sets becomes redundant. (Contributed by BTernaryTau, 12-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvpow	⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fineqvpow

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw 4559	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥}
2		vex 3460	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		eleq2w2 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ V))
4		pwfi 9265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	bitr3di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 5	mpbii 235	. . . . . . 7 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7	6	elexd 3479	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrrid 2869	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V)
9		elisset 2846	. . . . 5 ⊢ ({𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
11		sseq1 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
12	11	eqabbw 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
13	12	exbii 1870	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
14	10, 13	sylib 220	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
15		biimpr 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	15	alimi 1833	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	eximi 1857	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
19		df-ss 3923	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥))
20	19	imbi1i 351	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
21	20	albii 1841	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	exbii 1870	. 2 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
23	18, 22	sylib 220	1 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1560   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  {cab 2742  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  Fincfn 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-om 7849  df-1o 8439  df-en 8930  df-dom 8931  df-fin 8933

This theorem is referenced by: (None)