Theorem fineqvpow 35536

Description: If all sets are finite, then the Axiom of Power Sets becomes redundant. (Contributed by BTernaryTau, 12-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvpow	⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fineqvpow

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw 4563	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥}
2		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		eleq2w2 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ V))
4		pwfi 9276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	bitr3di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 5	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7	6	elexd 3477	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrrid 2867	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V)
9		elisset 2844	. . . . 5 ⊢ ({𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
11		sseq1 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
12	11	eqabbw 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
13	12	exbii 1877	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
14	10, 13	sylib 221	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
15		biimpr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	15	alimi 1840	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	eximi 1864	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
18	14, 17	syl 18	. 2 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
19		df-ss 3921	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥))
20	19	imbi1i 352	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
21	20	albii 1848	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	exbii 1877	. 2 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
23	18, 22	sylib 221	1 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  Fincfn 8941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945

This theorem is used by: (None)