Theorem fineqvpow 35271

Description: If all sets are finite, then the Axiom of Power Sets becomes redundant. (Contributed by BTernaryTau, 12-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvpow	⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fineqvpow

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw 4556	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥}
2		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		eleq2w2 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ V))
4		pwfi 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	bitr3di 286	. . . . . . . 8 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 5	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7	6	elexd 3464	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrrid 2841	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V)
9		elisset 2818	. . . . 5 ⊢ ({𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
11		sseq1 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
12	11	eqabbw 2809	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
13	12	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
14	10, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
15		biimpr 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	15	alimi 1812	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	eximi 1836	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
19		df-ss 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥))
20	19	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
21	20	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	exbii 1849	. 2 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
23	18, 22	sylib 218	1 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2714  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by: (None)