Theorem fineqvpow 35138

Description: If the Axiom of Infinity is negated, then the Axiom of Power Sets becomes redundant. (Contributed by BTernaryTau, 12-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvpow	⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fineqvpow

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw 4549	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥}
2		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		eleq2w2 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ V))
4		pwfi 9203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	bitr3di 286	. . . . . . . 8 ⊢ (Fin = V → (𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 5	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7	6	elexd 3460	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → 𝒫 𝑥 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrrid 2836	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V)
9		elisset 2813	. . . . 5 ⊢ ({𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ∈ V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥})
11		sseq1 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
12	11	eqabbw 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
13	12	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 = {𝑣 ∣ 𝑣 ⊆ 𝑥} ↔ ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
14	10, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥))
15		biimpr 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	15	alimi 1812	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	eximi 1836	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦))
19		df-ss 3914	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥))
20	19	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
21	20	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	exbii 1849	. 2 ⊢ (∃𝑦∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
23	18, 22	sylib 218	1 ⊢ (Fin = V → ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-fin 8873

This theorem is referenced by: (None)