Theorem fisup2g 9378

Description: A finite set satisfies the conditions to have a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisup2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisup2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soss 5551	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
2		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐵)
3		fisupg 9193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
4	2, 3	supeu 9363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
5	4	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
6	1, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))))))
7	6	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))))))
8	7	3imp2 1350	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
9		reurex 3349	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
10		breq2 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	rspcev 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
13	12	ralrimivw 3125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
14	13	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
15	14	anim2d 612	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
16	15	reximia 3064	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
17	8, 9, 16	3syl 18	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3343   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5095   Or wor 5530  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-en 8880  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  fisupcl  9379  supgtoreq  9380  suprfinzcl  12608  ssnn0fi  13910  ssnnssfz  32743  ssnn0ssfz  48334