MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupcl 9500
Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐴)
21supval2 9486 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
3 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
4 breq2 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
54rspcev 3611 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
65ex 411 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
76ralrimivw 3147 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
98anim2d 610 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
109rgen 3060 . . . . 5 𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
12 soss 5614 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
133, 1, 12sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐵)
14 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
15 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
16 fisupg 9322 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
18 fisup2g 9499 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
19 ssrexv 4051 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
203, 18, 19sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
211, 20supeu 9485 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
22 riotass2 7413 . . . 4 (((𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) ∧ (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
233, 11, 17, 21, 22syl22anc 837 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2413, 17supeu 9485 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
25 riotacl 7400 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrrd 2830 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
282, 27eqeltrd 2829 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3372  wss 3949  c0 4326   class class class wbr 5152   Or wor 5593  crio 7381  Fincfn 8970  supcsup 9471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-om 7877  df-en 8971  df-fin 8974  df-sup 9473
This theorem is referenced by:  supgtoreq  9501  fiinfcl  9532  supfirege  12239  fseqsupcl  13982  fsuppmapnn0fiublem  13995  isercolllem2  15652  fsumcvg3  15715  mertenslem2  15871  prdsmet  24296  prdsbl  24420  mdegldg  26022  mdegcl  26025  aannenlem2  26284  ssnnssfz  32576  oddpwdc  34007  erdszelem5  34838  poimirlem31  37157  poimirlem32  37158  totbndbnd  37295  prdsbnd  37299  rencldnfilem  42271  aomclem2  42510  safesnsupfiss  42876  safesnsupfilb  42879  fisupclrnmpt  44809  limsupequzlem  45139  fourierdlem25  45549  fourierdlem31  45555  fourierdlem37  45561  etransclem48  45699  hoicvr  45965  ssnn0ssfz  47491
  Copyright terms: Public domain W3C validator