MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupcl 9463
Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐴)
21supval2 9449 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
3 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
4 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
54rspcev 3606 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
65ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
76ralrimivw 3144 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
98anim2d 611 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
109rgen 3057 . . . . 5 𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
12 soss 5601 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
133, 1, 12sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐵)
14 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
15 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
16 fisupg 9290 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
18 fisup2g 9462 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
19 ssrexv 4046 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
203, 18, 19sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
211, 20supeu 9448 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
22 riotass2 7391 . . . 4 (((𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) ∧ (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
233, 11, 17, 21, 22syl22anc 836 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2413, 17supeu 9448 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
25 riotacl 7378 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrrd 2828 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
282, 27eqeltrd 2827 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  ∃!wreu 3368  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141   Or wor 5580  crio 7359  Fincfn 8938  supcsup 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-om 7852  df-en 8939  df-fin 8942  df-sup 9436
This theorem is referenced by:  supgtoreq  9464  fiinfcl  9495  supfirege  12202  fseqsupcl  13945  fsuppmapnn0fiublem  13958  isercolllem2  15615  fsumcvg3  15678  mertenslem2  15834  prdsmet  24226  prdsbl  24350  mdegldg  25952  mdegcl  25955  aannenlem2  26214  ssnnssfz  32502  oddpwdc  33882  erdszelem5  34713  poimirlem31  37031  poimirlem32  37032  totbndbnd  37169  prdsbnd  37173  rencldnfilem  42118  aomclem2  42357  safesnsupfiss  42724  safesnsupfilb  42727  fisupclrnmpt  44662  limsupequzlem  44992  fourierdlem25  45402  fourierdlem31  45408  fourierdlem37  45414  etransclem48  45552  hoicvr  45818  ssnn0ssfz  47283
  Copyright terms: Public domain W3C validator