Theorem fncpn 26143

Description: The 𝓑C^𝑛 object is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fncpn	⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘𝑆) Fn ℕ0)

Proof of Theorem fncpn

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (ℂ ↑pm 𝑆) ∈ V
2	1	rabex 5311	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)} ∈ V
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)})
4	2, 3	fnmpti 6682	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)}) Fn ℕ0
5		cpnfval 26142	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘𝑆) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)}))
6	5	fneq1d 6632	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((𝓑C𝑛‘𝑆) Fn ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)}) Fn ℕ0))
7	4, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘𝑆) Fn ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_pm cpm 8831  ℂcc 11113  ℕ₀cn0 12519  –cn→ccncf 25086   D^𝑛 cdvn 26074  𝓑C^𝑛ccpn 26075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-1cn 11173  ax-addcl 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249  df-n0 12520  df-cpn 26079

This theorem is used by:  cpncn  26146  cpnres  26147  plycpn  26501  aalioulem3  26548