aalioulem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem aalioulem3 26299

Description: Lemma for aaliou 26303. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
aalioulem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥,𝑟 𝑥,𝐴,𝑟 𝑥,𝐹,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1re 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resubcl 11552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5		peano2re 11413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7		reelprrecn 11226	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8		ssid 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		fncpn 25892	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀
11		1nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
12		fnfvelrn 7075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ)
14		intss1 4944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) → ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17		plycpn 26254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
19	15, 18	sselid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
20		cpnres 25896	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
21	7, 19, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
22		df-ima 5672	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23		zssre 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24		ax-resscn 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		plyss 26161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
27	26, 16	sselid 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28		plyreres 26247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30	29	frnd 6719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
31	22, 30	eqsstrid 4002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32		iccssre 13451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
33	4, 6, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
34	33, 24	sstrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35		plyf 26160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	16, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	36	fdmd 6721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
38	34, 37	sseqtrrd 4001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
39	4, 6, 21, 31, 38	c1lip3 25961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))))
40		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	41, 44	abssubd 15477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
46		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1)
47	45, 46	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1)
48		1red 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49		elicc4abs 15343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
50	43, 48, 40, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
51	47, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
52	1	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52	subidd 11587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
54	53	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
55		abs0 15309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
56		0le1 11765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
57	55, 56	eqbrtri 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
58	54, 57	eqbrtrdi 5163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1)
59		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60		elicc4abs 15343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
61	1, 59, 1, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
62	58, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑟))
66	65	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟)))
67	66	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))))
68		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑐 − 𝑏) = (𝑐 − 𝑟))
69	68	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐 − 𝑏)) = (abs‘(𝑐 − 𝑟)))
70	69	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))))
71	67, 70	breq12d 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟)))))
72		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐴))
73	72	fvoveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))))
74		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
75	74	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
76	73, 75	breq12d 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
77	71, 76	rspc2v 3617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
78	51, 64, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
79		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) = 0)
82		0cn 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
83	81, 82	eqeltrdi 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
84	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
86	85, 41	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
87	83, 86	abssubd 15477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))))
88	81	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑟) − 0))
89	86	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − 0) = (𝐹‘𝑟))
90	88, 89	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝑟))
91	90	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
92	87, 91	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
93	92	breq1d 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
94	78, 93	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
95	94	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
96	95	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
97	96	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
98	97	ralrimdv 3139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
99	98	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
100	39, 99	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
101		1rp 13017	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ⁺)
103		recn 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104	103	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105		neqne 2941	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106		absrpcl 15312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
107	104, 105, 106	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpreccld 13066	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ⁺)
109	102, 108	ifclda 4541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺)
110		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111		eqif 4547	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112	110, 111	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
114		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
116	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
120	119	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
124	115, 123	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
125	113, 124	breqtrd 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0)
126	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127	117	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128	126, 127	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
130	129	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))
131	128	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
133		0re 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		letri3 11325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
136	125, 130, 135	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0)
137	136	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · 0))
138		ax-1cn 11192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
139	138	mul01i 11430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 0) = 0
140	137, 139	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = 0)
141	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
142	141	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
143	140, 142	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
144		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
145	144	breq1d 5134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
146	143, 145	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
147	146	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
148		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ)
151		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153	152, 106	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpcnne0d 13065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155		divrec2 11918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
156	155	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
157	150, 154, 156	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
158		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159	158, 120	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
160	158	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161	160	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162	161, 120	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
163		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
164	119	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
165		leabs 15323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166	165	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167	158, 161, 120, 164, 166	lemul1ad 12186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
168	131, 159, 162, 163, 167	letrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
170	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
171	149, 170, 153	ledivmuld 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
172	169, 171	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
173	157, 172	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
174	148, 173	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
175		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
176	175	breq1d 5134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
177	174, 176	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
178	177	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
179	147, 178	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
180	112, 179	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
181	180	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
182	181	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
183	182	ralimdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
184		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
185	184	breq1d 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
186	185	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
187	186	ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
188	187	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
189	109, 183, 188	syl6an 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
190	189	rexlimdva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
191	100, 190	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3061 ⊆ wss 3931 ifcif 4505 {cpr 4608 ∩ cint 4927 class class class wbr 5124 dom cdm 5659 ran crn 5660 ↾ cres 5661 “ cima 5662 Fn wfn 6531 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 · cmul 11139 ≤ cle 11275 − cmin 11471 / cdiv 11899 ℕcn 12245 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℝ⁺crp 13013 [,]cicc 13370 abscabs 15258 𝓑C^𝑛ccpn 25823 Polycply 26146 degcdgr 26149

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-inf2 9660 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212 ax-addf 11213

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-tp 4611 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-iin 4975 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-of 7676 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8165 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-2o 8486 df-er 8724 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9379 df-fi 9428 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9529 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12507 df-z 12594 df-dec 12714 df-uz 12858 df-q 12970 df-rp 13014 df-xneg 13133 df-xadd 13134 df-xmul 13135 df-ioo 13371 df-ico 13373 df-icc 13374 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-fl 13814 df-seq 14025 df-exp 14085 df-hash 14354 df-cj 15123 df-re 15124 df-im 15125 df-sqrt 15259 df-abs 15260 df-clim 15509 df-rlim 15510 df-sum 15708 df-struct 17171 df-sets 17188 df-slot 17206 df-ndx 17218 df-base 17234 df-ress 17257 df-plusg 17289 df-mulr 17290 df-starv 17291 df-sca 17292 df-vsca 17293 df-ip 17294 df-tset 17295 df-ple 17296 df-ds 17298 df-unif 17299 df-hom 17300 df-cco 17301 df-rest 17441 df-topn 17442 df-0g 17460 df-gsum 17461 df-topgen 17462 df-pt 17463 df-prds 17466 df-xrs 17521 df-qtop 17526 df-imas 17527 df-xps 17529 df-mre 17603 df-mrc 17604 df-acs 17606 df-mgm 18623 df-sgrp 18702 df-mnd 18718 df-submnd 18767 df-grp 18924 df-minusg 18925 df-mulg 19056 df-subg 19111 df-cntz 19305 df-cmn 19768 df-abl 19769 df-mgp 20106 df-rng 20118 df-ur 20147 df-ring 20200 df-cring 20201 df-subrng 20511 df-subrg 20535 df-psmet 21312 df-xmet 21313 df-met 21314 df-bl 21315 df-mopn 21316 df-fbas 21317 df-fg 21318 df-cnfld 21321 df-top 22837 df-topon 22854 df-topsp 22876 df-bases 22889 df-cld 22962 df-ntr 22963 df-cls 22964 df-nei 23041 df-lp 23079 df-perf 23080 df-cn 23170 df-cnp 23171 df-haus 23258 df-cmp 23330 df-tx 23505 df-hmeo 23698 df-fil 23789 df-fm 23881 df-flim 23882 df-flf 23883 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-0p 25628 df-limc 25824 df-dv 25825 df-dvn 25826 df-cpn 25827 df-ply 26150 df-coe 26152 df-dgr 26153

This theorem is referenced by: aalioulem4 26300

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