aalioulem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem aalioulem3 26296

Description: Lemma for aaliou 26300. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
aalioulem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥,𝑟 𝑥,𝐴,𝑟 𝑥,𝐹,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1re 11130	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resubcl 11443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5		peano2re 11304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7		reelprrecn 11116	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8		ssid 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		fncpn 25889	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀
11		1nn0 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
12		fnfvelrn 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ)
14		intss1 4916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) → ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17		plycpn 26251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
19	15, 18	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
20		cpnres 25893	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
21	7, 19, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
22		df-ima 5635	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23		zssre 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24		ax-resscn 11081	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		plyss 26158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
27	26, 16	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28		plyreres 26244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30	29	frnd 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
31	22, 30	eqsstrid 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32		iccssre 13343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
33	4, 6, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
34	33, 24	sstrdi 3944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35		plyf 26157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	16, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	36	fdmd 6670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
38	34, 37	sseqtrrd 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
39	4, 6, 21, 31, 38	c1lip3 25958	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))))
40		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	41, 44	abssubd 15377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
46		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1)
47	45, 46	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1)
48		1red 11131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49		elicc4abs 15241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
50	43, 48, 40, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
51	47, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
52	1	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52	subidd 11478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
54	53	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
55		abs0 15206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
56		0le1 11658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
57	55, 56	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
58	54, 57	eqbrtrdi 5135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1)
59		1red 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60		elicc4abs 15241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
61	1, 59, 1, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
62	58, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑟))
66	65	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟)))
67	66	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))))
68		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑐 − 𝑏) = (𝑐 − 𝑟))
69	68	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐 − 𝑏)) = (abs‘(𝑐 − 𝑟)))
70	69	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))))
71	67, 70	breq12d 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟)))))
72		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐴))
73	72	fvoveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))))
74		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
75	74	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
76	73, 75	breq12d 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
77	71, 76	rspc2v 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
78	51, 64, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
79		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) = 0)
82		0cn 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
83	81, 82	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
84	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
86	85, 41	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
87	83, 86	abssubd 15377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))))
88	81	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑟) − 0))
89	86	subid1d 11479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − 0) = (𝐹‘𝑟))
90	88, 89	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝑟))
91	90	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
92	87, 91	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
93	92	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
94	78, 93	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
95	94	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
96	95	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
97	96	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
98	97	ralrimdv 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
99	98	reximdva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
100	39, 99	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
101		1rp 12907	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ⁺)
103		recn 11114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104	103	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106		absrpcl 15209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
107	104, 105, 106	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpreccld 12957	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ⁺)
109	102, 108	ifclda 4513	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺)
110		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111		eqif 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112	110, 111	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
114		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
116	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
120	119	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
124	115, 123	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
125	113, 124	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0)
126	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127	117	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128	126, 127	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
130	129	absge0d 15368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))
131	128	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
133		0re 11132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		letri3 11216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
136	125, 130, 135	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0)
137	136	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · 0))
138		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
139	138	mul01i 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 0) = 0
140	137, 139	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = 0)
141	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
142	141	absge0d 15368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
143	140, 142	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
144		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
145	144	breq1d 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
146	143, 145	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
147	146	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
148		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ)
151		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153	152, 106	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpcnne0d 12956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155		divrec2 11811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
156	155	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
157	150, 154, 156	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
158		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159	158, 120	remulcld 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
160	158	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161	160	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162	161, 120	remulcld 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
163		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
164	119	absge0d 15368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
165		leabs 15220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166	165	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167	158, 161, 120, 164, 166	lemul1ad 12079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
168	131, 159, 162, 163, 167	letrd 11288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
170	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
171	149, 170, 153	ledivmuld 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
172	169, 171	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
173	157, 172	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
174	148, 173	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
175		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
176	175	breq1d 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
177	174, 176	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
178	177	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
179	147, 178	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
180	112, 179	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
181	180	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
182	181	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
183	182	ralimdva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
184		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
185	184	breq1d 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
186	185	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
187	186	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
188	187	rspcev 3574	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
189	109, 183, 188	syl6an 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
190	189	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
191	100, 190	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 ∀wral 3049 ∃wrex 3058 ⊆ wss 3899 ifcif 4477 {cpr 4580 ∩ cint 4900 class class class wbr 5096 dom cdm 5622 ran crn 5623 ↾ cres 5624 “ cima 5625 Fn wfn 6485 ⟶wf 6486 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 1c1 11025 + caddc 11027 · cmul 11029 ≤ cle 11165 − cmin 11362 / cdiv 11792 ℕcn 12143 ℕ₀cn0 12399 ℤcz 12486 ℝ⁺crp 12903 [,]cicc 13262 abscabs 15155 𝓑C^𝑛ccpn 25820 Polycply 26143 degcdgr 26146

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-inf2 9548 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102 ax-addf 11103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-tp 4583 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-iin 4947 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-isom 6499 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-of 7620 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8101 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8633 df-map 8763 df-pm 8764 df-ixp 8834 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-fsupp 9263 df-fi 9312 df-sup 9343 df-inf 9344 df-oi 9413 df-card 9849 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-4 12208 df-5 12209 df-6 12210 df-7 12211 df-8 12212 df-9 12213 df-n0 12400 df-z 12487 df-dec 12606 df-uz 12750 df-q 12860 df-rp 12904 df-xneg 13024 df-xadd 13025 df-xmul 13026 df-ioo 13263 df-ico 13265 df-icc 13266 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-fl 13710 df-seq 13923 df-exp 13983 df-hash 14252 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-clim 15409 df-rlim 15410 df-sum 15608 df-struct 17072 df-sets 17089 df-slot 17107 df-ndx 17119 df-base 17135 df-ress 17156 df-plusg 17188 df-mulr 17189 df-starv 17190 df-sca 17191 df-vsca 17192 df-ip 17193 df-tset 17194 df-ple 17195 df-ds 17197 df-unif 17198 df-hom 17199 df-cco 17200 df-rest 17340 df-topn 17341 df-0g 17359 df-gsum 17360 df-topgen 17361 df-pt 17362 df-prds 17365 df-xrs 17421 df-qtop 17426 df-imas 17427 df-xps 17429 df-mre 17503 df-mrc 17504 df-acs 17506 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-submnd 18707 df-grp 18864 df-minusg 18865 df-mulg 18996 df-subg 19051 df-cntz 19244 df-cmn 19709 df-abl 19710 df-mgp 20074 df-rng 20086 df-ur 20115 df-ring 20168 df-cring 20169 df-subrng 20477 df-subrg 20501 df-psmet 21299 df-xmet 21300 df-met 21301 df-bl 21302 df-mopn 21303 df-fbas 21304 df-fg 21305 df-cnfld 21308 df-top 22836 df-topon 22853 df-topsp 22875 df-bases 22888 df-cld 22961 df-ntr 22962 df-cls 22963 df-nei 23040 df-lp 23078 df-perf 23079 df-cn 23169 df-cnp 23170 df-haus 23257 df-cmp 23329 df-tx 23504 df-hmeo 23697 df-fil 23788 df-fm 23880 df-flim 23881 df-flf 23882 df-xms 24262 df-ms 24263 df-tms 24264 df-cncf 24825 df-0p 25625 df-limc 25821 df-dv 25822 df-dvn 25823 df-cpn 25824 df-ply 26147 df-coe 26149 df-dgr 26150

This theorem is referenced by: aalioulem4 26297

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