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Theorem aalioulem3 26377
Description: Lemma for aaliou 26381. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑟   𝑥,𝐴,𝑟   𝑥,𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 11262 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 11574 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 11435 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 11248 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8 ssid 4005 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
9 fncpn 25970 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0
11 1nn0 12544 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 fnfvelrn 7099 . . . . . . . 8 (((𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)
14 intss1 4962 . . . . . . 7 (((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ) → ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17 plycpn 26332 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1915, 18sselid 3980 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
20 cpnres 25974 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
217, 19, 20sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
22 df-ima 5697 . . . . 5 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23 zssre 12622 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
24 ax-resscn 11213 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
25 plyss 26239 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
2623, 24, 25mp2an 692 . . . . . . . 8 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
2726, 16sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28 plyreres 26325 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3029frnd 6743 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3122, 30eqsstrid 4021 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32 iccssre 13470 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
334, 6, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
3433, 24sstrdi 3995 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35 plyf 26238 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3616, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3736fdmd 6745 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
3834, 37sseqtrrd 4020 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
394, 6, 21, 31, 38c1lip3 26039 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))))
40 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4140recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4443recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4541, 44abssubd 15493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
46 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1)
4745, 46eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1)
48 1red 11263 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49 elicc4abs 15359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5043, 48, 40, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5147, 50mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
521recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5352subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
5453fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
55 abs0 15325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
56 0le1 11787 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5755, 56eqbrtri 5163 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘0) ≤ 1
5854, 57eqbrtrdi 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1)
59 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 elicc4abs 15359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
611, 59, 1, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
6258, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑟))
6665oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)))
6766fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))))
68 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝑐𝑏) = (𝑐𝑟))
6968fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑐𝑟)))
7069oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))))
7167, 70breq12d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟)))))
72 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
7372fvoveq1d 7454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))))
74 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
7574oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
7673, 75breq12d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7771, 76rspc2v 3632 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7851, 64, 77syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
79 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) = 0)
82 0cn 11254 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
8381, 82eqeltrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
8436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85843ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
8685, 41ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
8783, 86abssubd 15493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))))
8881oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑟) − 0))
8986subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − 0) = (𝐹𝑟))
9088, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = (𝐹𝑟))
9190fveq2d 6909 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9287, 91eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9392breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
9478, 93sylibd 239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
95943exp 1119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9695com34 91 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9796com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9897ralrimdv 3151 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
9998reximdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
10039, 99mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
101 1rp 13039 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ+)
103 recn 11246 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104103adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105 neqne 2947 . . . . . . 7 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106 absrpcl 15328 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
107104, 105, 106syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
108107rpreccld 13088 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ+)
109102, 108ifclda 4560 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+)
110 eqid 2736 . . . . . . . . 9 if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111 eqif 4566 . . . . . . . . 9 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112110, 111mpbi 230 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
114 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
1161ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
119118recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
120119abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
121120recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
123122mul02d 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
124115, 123eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
125113, 124breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0)
12636ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127117recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128126, 127ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
130129absge0d 15484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))
131128abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
133 0re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
134 letri3 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
135132, 133, 134sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
136125, 130, 135mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) = 0)
137136oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · 0))
138 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
139138mul01i 11452 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
140137, 139eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = 0)
141119adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
142141absge0d 15484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
143140, 142eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
144 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹𝑟))))
145144breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
146143, 145syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
147146expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
148 df-ne 2940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
150149recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ)
151 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152151recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153152, 106sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
154153rpcnne0d 13087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155 divrec2 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
1561553expb 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
157150, 154, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
158 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159158, 120remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
160158recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161160abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162161, 120remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
163 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
164119absge0d 15484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
165 leabs 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166165ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167158, 161, 120, 164, 166lemul1ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
168131, 159, 162, 163, 167letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
170120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
171149, 170, 153ledivmuld 13131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟)))))
172169, 171mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
173157, 172eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
174148, 173sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
175 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
176175breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
177174, 176syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
178177expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
179147, 178jaod 859 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
180112, 179mpi 20 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
181180expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
182181imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
183182ralimdva 3166 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
184 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))))
185184breq1d 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
186185imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
187186ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
188187rspcev 3621 . . . 4 ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
189109, 183, 188syl6an 684 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
190189rexlimdva 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
191100, 190mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3950  ifcif 4524  {cpr 4627   cint 4945   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  +crp 13035  [,]cicc 13391  abscabs 15274  𝓑C𝑛ccpn 25901  Polycply 26224  degcdgr 26227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903  df-dvn 25904  df-cpn 25905  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231
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