aalioulem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem aalioulem3 26314

Description: Lemma for aaliou 26318. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
aalioulem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥,𝑟 𝑥,𝐴,𝑟 𝑥,𝐹,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1re 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resubcl 11452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5		peano2re 11313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7		reelprrecn 11124	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8		ssid 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		fncpn 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀
11		1nn0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
12		fnfvelrn 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
13	10, 11, 12	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ)
14		intss1 4906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) → ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17		plycpn 26269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
19	15, 18	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
20		cpnres 25917	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
21	7, 19, 20	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
22		df-ima 5638	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23		zssre 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24		ax-resscn 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		plyss 26177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
26	23, 24, 25	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
27	26, 16	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28		plyreres 26262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30	29	frnd 6671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
31	22, 30	eqsstrid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32		iccssre 13376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
33	4, 6, 32	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
34	33, 24	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35		plyf 26176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	16, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	36	fdmd 6673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
38	34, 37	sseqtrrd 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
39	4, 6, 21, 31, 38	c1lip3 25979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))))
40		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	41, 44	abssubd 15412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
46		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1)
47	45, 46	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1)
48		1red 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49		elicc4abs 15276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
50	43, 48, 40, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
51	47, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
52	1	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52	subidd 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
54	53	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
55		abs0 15241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
56		0le1 11667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
57	55, 56	eqbrtri 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
58	54, 57	eqbrtrdi 5125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1)
59		1red 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60		elicc4abs 15276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
61	1, 59, 1, 60	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
62	58, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64	63	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑟))
66	65	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟)))
67	66	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))))
68		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑐 − 𝑏) = (𝑐 − 𝑟))
69	68	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐 − 𝑏)) = (abs‘(𝑐 − 𝑟)))
70	69	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))))
71	67, 70	breq12d 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟)))))
72		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐴))
73	72	fvoveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))))
74		fvoveq1 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
75	74	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
76	73, 75	breq12d 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
77	71, 76	rspc2v 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
78	51, 64, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
79		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) = 0)
82		0cn 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
83	81, 82	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
84	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85	84	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
86	85, 41	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
87	83, 86	abssubd 15412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))))
88	81	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑟) − 0))
89	86	subid1d 11488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − 0) = (𝐹‘𝑟))
90	88, 89	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝑟))
91	90	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
92	87, 91	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
93	92	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
94	78, 93	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
95	94	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
96	95	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
97	96	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
98	97	ralrimdv 3136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
99	98	reximdva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
100	39, 99	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
101		1rp 12940	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ⁺)
103		recn 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104	103	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105		neqne 2941	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106		absrpcl 15244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
107	104, 105, 106	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpreccld 12990	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ⁺)
109	102, 108	ifclda 4503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺)
110		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111		eqif 4509	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112	110, 111	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
114		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
116	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
120	119	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
124	115, 123	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
125	113, 124	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0)
126	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127	117	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128	126, 127	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
130	129	absge0d 15403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))
131	128	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
133		0re 11140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		letri3 11225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
135	132, 133, 134	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
136	125, 130, 135	mpbir2and 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0)
137	136	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · 0))
138		ax-1cn 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
139	138	mul01i 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 0) = 0
140	137, 139	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = 0)
141	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
142	141	absge0d 15403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
143	140, 142	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
144		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
145	144	breq1d 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
146	143, 145	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
147	146	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
148		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ)
151		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153	152, 106	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpcnne0d 12989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155		divrec2 11820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
156	155	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
157	150, 154, 156	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
158		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159	158, 120	remulcld 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
160	158	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161	160	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162	161, 120	remulcld 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
163		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
164	119	absge0d 15403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
165		leabs 15255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166	165	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167	158, 161, 120, 164, 166	lemul1ad 12089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
168	131, 159, 162, 163, 167	letrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
170	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
171	149, 170, 153	ledivmuld 13033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
172	169, 171	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
173	157, 172	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
174	148, 173	sylan2br 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
175		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
176	175	breq1d 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
177	174, 176	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
178	177	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
179	147, 178	jaod 860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
180	112, 179	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
181	180	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
182	181	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
183	182	ralimdva 3150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
184		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
185	184	breq1d 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
186	185	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
187	186	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
188	187	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
189	109, 183, 188	syl6an 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
190	189	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
191	100, 190	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3062 ⊆ wss 3890 ifcif 4467 {cpr 4570 ∩ cint 4890 class class class wbr 5086 dom cdm 5625 ran crn 5626 ↾ cres 5627 “ cima 5628 Fn wfn 6488 ⟶wf 6489 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℂcc 11030 ℝcr 11031 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 · cmul 11037 ≤ cle 11174 − cmin 11371 / cdiv 11801 ℕcn 12168 ℕ₀cn0 12431 ℤcz 12518 ℝ⁺crp 12936 [,]cicc 13295 abscabs 15190 𝓑C^𝑛ccpn 25845 Polycply 26162 degcdgr 26165

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-inf2 9556 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110 ax-addf 11111

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7625 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-supp 8105 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-map 8769 df-pm 8770 df-ixp 8840 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-fsupp 9269 df-fi 9318 df-sup 9349 df-inf 9350 df-oi 9419 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-4 12240 df-5 12241 df-6 12242 df-7 12243 df-8 12244 df-9 12245 df-n0 12432 df-z 12519 df-dec 12639 df-uz 12783 df-q 12893 df-rp 12937 df-xneg 13057 df-xadd 13058 df-xmul 13059 df-ioo 13296 df-ico 13298 df-icc 13299 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-fl 13745 df-seq 13958 df-exp 14018 df-hash 14287 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-clim 15444 df-rlim 15445 df-sum 15643 df-struct 17111 df-sets 17128 df-slot 17146 df-ndx 17158 df-base 17174 df-ress 17195 df-plusg 17227 df-mulr 17228 df-starv 17229 df-sca 17230 df-vsca 17231 df-ip 17232 df-tset 17233 df-ple 17234 df-ds 17236 df-unif 17237 df-hom 17238 df-cco 17239 df-rest 17379 df-topn 17380 df-0g 17398 df-gsum 17399 df-topgen 17400 df-pt 17401 df-prds 17404 df-xrs 17460 df-qtop 17465 df-imas 17466 df-xps 17468 df-mre 17542 df-mrc 17543 df-acs 17545 df-mgm 18602 df-sgrp 18681 df-mnd 18697 df-submnd 18746 df-grp 18906 df-minusg 18907 df-mulg 19038 df-subg 19093 df-cntz 19286 df-cmn 19751 df-abl 19752 df-mgp 20116 df-rng 20128 df-ur 20157 df-ring 20210 df-cring 20211 df-subrng 20517 df-subrg 20541 df-psmet 21339 df-xmet 21340 df-met 21341 df-bl 21342 df-mopn 21343 df-fbas 21344 df-fg 21345 df-cnfld 21348 df-top 22872 df-topon 22889 df-topsp 22911 df-bases 22924 df-cld 22997 df-ntr 22998 df-cls 22999 df-nei 23076 df-lp 23114 df-perf 23115 df-cn 23205 df-cnp 23206 df-haus 23293 df-cmp 23365 df-tx 23540 df-hmeo 23733 df-fil 23824 df-fm 23916 df-flim 23917 df-flf 23918 df-xms 24298 df-ms 24299 df-tms 24300 df-cncf 24858 df-0p 25650 df-limc 25846 df-dv 25847 df-dvn 25848 df-cpn 25849 df-ply 26166 df-coe 26168 df-dgr 26169

This theorem is referenced by: aalioulem4 26315

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