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Theorem aalioulem3 25694
Description: Lemma for aaliou 25698. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑟   𝑥,𝐴,𝑟   𝑥,𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 11155 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 11465 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 11328 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 11143 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8 ssid 3966 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
9 fncpn 25297 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0
11 1nn0 12429 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 fnfvelrn 7031 . . . . . . . 8 (((𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)
14 intss1 4924 . . . . . . 7 (((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ) → ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17 plycpn 25649 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1915, 18sselid 3942 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
20 cpnres 25301 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
217, 19, 20sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
22 df-ima 5646 . . . . 5 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23 zssre 12506 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
24 ax-resscn 11108 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
25 plyss 25560 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
2623, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . 8 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
2726, 16sselid 3942 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28 plyreres 25643 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3029frnd 6676 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3122, 30eqsstrid 3992 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32 iccssre 13346 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
334, 6, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
3433, 24sstrdi 3956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35 plyf 25559 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3616, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3736fdmd 6679 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
3834, 37sseqtrrd 3985 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
394, 6, 21, 31, 38c1lip3 25363 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))))
40 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4140recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
421adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4443recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4541, 44abssubd 15338 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
46 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1)
4745, 46eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1)
48 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49 elicc4abs 15204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5043, 48, 40, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5147, 50mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
521recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5352subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
5453fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
55 abs0 15170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
56 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5755, 56eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘0) ≤ 1
5854, 57eqbrtrdi 5144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1)
59 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 elicc4abs 15204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
611, 59, 1, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
6258, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑟))
6665oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)))
6766fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))))
68 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝑐𝑏) = (𝑐𝑟))
6968fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑐𝑟)))
7069oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))))
7167, 70breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟)))))
72 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
7372fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))))
74 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
7574oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
7673, 75breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7771, 76rspc2v 3590 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7851, 64, 77syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
79 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) = 0)
82 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
8381, 82eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
8436adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85843ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
8685, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
8783, 86abssubd 15338 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))))
8881oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑟) − 0))
8986subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − 0) = (𝐹𝑟))
9088, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = (𝐹𝑟))
9190fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9287, 91eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9392breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
9478, 93sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
95943exp 1119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9695com34 91 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9796com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9897ralrimdv 3149 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
9998reximdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
10039, 99mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
101 1rp 12919 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ+)
103 recn 11141 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104103adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105 neqne 2951 . . . . . . 7 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106 absrpcl 15173 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
107104, 105, 106syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
108107rpreccld 12967 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ+)
109102, 108ifclda 4521 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+)
110 eqid 2736 . . . . . . . . 9 if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111 eqif 4527 . . . . . . . . 9 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112110, 111mpbi 229 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
114 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
1161ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
119118recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
120119abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
121120recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
123122mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
124115, 123eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
125113, 124breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0)
12636ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127117recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128126, 127ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
129128adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
130129absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))
131128abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
133 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
134 letri3 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
135132, 133, 134sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
136125, 130, 135mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) = 0)
137136oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · 0))
138 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
139138mul01i 11345 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
140137, 139eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = 0)
141119adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
142141absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
143140, 142eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
144 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹𝑟))))
145144breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
146143, 145syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
147146expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
148 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
150149recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ)
151 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152151recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153152, 106sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
154153rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155 divrec2 11830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
1561553expb 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
157150, 154, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
158 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159158, 120remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
160158recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161160abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162161, 120remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
163 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
164119absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
165 leabs 15184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166165ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167158, 161, 120, 164, 166lemul1ad 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
168131, 159, 162, 163, 167letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
169168adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
170120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
171149, 170, 153ledivmuld 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟)))))
172169, 171mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
173157, 172eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
174148, 173sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
175 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
176175breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
177174, 176syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
178177expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
179147, 178jaod 857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
180112, 179mpi 20 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
181180expr 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
182181imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
183182ralimdva 3164 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
184 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))))
185184breq1d 5115 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
186185imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
187186ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
188187rspcev 3581 . . . 4 ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
189109, 183, 188syl6an 682 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
190189rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
191100, 190mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  ifcif 4486  {cpr 4588   cint 4907   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  [,]cicc 13267  abscabs 15119  𝓑C𝑛ccpn 25229  Polycply 25545  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-cpn 25233  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552
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