aalioulem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem aalioulem3 26377

Description: Lemma for aaliou 26381. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
aalioulem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥,𝑟 𝑥,𝐴,𝑟 𝑥,𝐹,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1re 11262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resubcl 11574	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5		peano2re 11435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7		reelprrecn 11248	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8		ssid 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		fncpn 25970	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀
11		1nn0 12544	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
12		fnfvelrn 7099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ)
14		intss1 4962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) → ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17		plycpn 26332	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
19	15, 18	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
20		cpnres 25974	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
21	7, 19, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
22		df-ima 5697	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23		zssre 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24		ax-resscn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		plyss 26239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
27	26, 16	sselid 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28		plyreres 26325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30	29	frnd 6743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
31	22, 30	eqsstrid 4021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32		iccssre 13470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
33	4, 6, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
34	33, 24	sstrdi 3995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35		plyf 26238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	16, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	36	fdmd 6745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
38	34, 37	sseqtrrd 4020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
39	4, 6, 21, 31, 38	c1lip3 26039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))))
40		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	41, 44	abssubd 15493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
46		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1)
47	45, 46	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1)
48		1red 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49		elicc4abs 15359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
50	43, 48, 40, 49	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
51	47, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
52	1	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52	subidd 11609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
54	53	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
55		abs0 15325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
56		0le1 11787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
57	55, 56	eqbrtri 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
58	54, 57	eqbrtrdi 5181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1)
59		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60		elicc4abs 15359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
61	1, 59, 1, 60	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
62	58, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑟))
66	65	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟)))
67	66	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))))
68		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑐 − 𝑏) = (𝑐 − 𝑟))
69	68	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐 − 𝑏)) = (abs‘(𝑐 − 𝑟)))
70	69	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))))
71	67, 70	breq12d 5155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟)))))
72		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐴))
73	72	fvoveq1d 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))))
74		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
75	74	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
76	73, 75	breq12d 5155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
77	71, 76	rspc2v 3632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
78	51, 64, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
79		simp1l 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) = 0)
82		0cn 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
83	81, 82	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
84	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
86	85, 41	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
87	83, 86	abssubd 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))))
88	81	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑟) − 0))
89	86	subid1d 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − 0) = (𝐹‘𝑟))
90	88, 89	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝑟))
91	90	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
92	87, 91	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
93	92	breq1d 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
94	78, 93	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
95	94	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
96	95	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
97	96	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
98	97	ralrimdv 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
99	98	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
100	39, 99	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
101		1rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ⁺)
103		recn 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104	103	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105		neqne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106		absrpcl 15328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
107	104, 105, 106	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpreccld 13088	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ⁺)
109	102, 108	ifclda 4560	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺)
110		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111		eqif 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112	110, 111	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
114		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
116	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 11692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
120	119	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
124	115, 123	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
125	113, 124	breqtrd 5168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0)
126	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127	117	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128	126, 127	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
130	129	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))
131	128	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
133		0re 11264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		letri3 11347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
136	125, 130, 135	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0)
137	136	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · 0))
138		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
139	138	mul01i 11452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 0) = 0
140	137, 139	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = 0)
141	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
142	141	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
143	140, 142	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
144		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
145	144	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
146	143, 145	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
147	146	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
148		df-ne 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ)
151		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153	152, 106	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpcnne0d 13087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155		divrec2 11940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
156	155	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
157	150, 154, 156	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
158		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159	158, 120	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
160	158	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161	160	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162	161, 120	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
163		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
164	119	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
165		leabs 15339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166	165	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167	158, 161, 120, 164, 166	lemul1ad 12208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
168	131, 159, 162, 163, 167	letrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
170	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
171	149, 170, 153	ledivmuld 13131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
172	169, 171	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
173	157, 172	eqbrtrrd 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
174	148, 173	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
175		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
176	175	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
177	174, 176	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
178	177	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
179	147, 178	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
180	112, 179	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
181	180	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
182	181	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
183	182	ralimdva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
184		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
185	184	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
186	185	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
187	186	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
188	187	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
189	109, 183, 188	syl6an 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
190	189	rexlimdva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
191	100, 190	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2939 ∀wral 3060 ∃wrex 3069 ⊆ wss 3950 ifcif 4524 {cpr 4627 ∩ cint 4945 class class class wbr 5142 dom cdm 5684 ran crn 5685 ↾ cres 5686 “ cima 5687 Fn wfn 6555 ⟶wf 6556 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 ≤ cle 11297 − cmin 11493 / cdiv 11921 ℕcn 12267 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ℝ⁺crp 13035 [,]cicc 13391 abscabs 15274 𝓑C^𝑛ccpn 25901 Polycply 26224 degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-inf2 9682 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234 ax-addf 11235

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-se 5637 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-isom 6569 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-of 7698 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-supp 8187 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-2o 8508 df-er 8746 df-map 8869 df-pm 8870 df-ixp 8939 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-fsupp 9403 df-fi 9452 df-sup 9483 df-inf 9484 df-oi 9551 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12529 df-z 12616 df-dec 12736 df-uz 12880 df-q 12992 df-rp 13036 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-ioo 13392 df-ico 13394 df-icc 13395 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-fl 13833 df-seq 14044 df-exp 14104 df-hash 14371 df-cj 15139 df-re 15140 df-im 15141 df-sqrt 15275 df-abs 15276 df-clim 15525 df-rlim 15526 df-sum 15724 df-struct 17185 df-sets 17202 df-slot 17220 df-ndx 17232 df-base 17249 df-ress 17276 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17468 df-topn 17469 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-topgen 17489 df-pt 17490 df-prds 17493 df-xrs 17548 df-qtop 17553 df-imas 17554 df-xps 17556 df-mre 17630 df-mrc 17631 df-acs 17633 df-mgm 18654 df-sgrp 18733 df-mnd 18749 df-submnd 18798 df-grp 18955 df-minusg 18956 df-mulg 19087 df-subg 19142 df-cntz 19336 df-cmn 19801 df-abl 19802 df-mgp 20139 df-rng 20151 df-ur 20180 df-ring 20233 df-cring 20234 df-subrng 20547 df-subrg 20571 df-psmet 21357 df-xmet 21358 df-met 21359 df-bl 21360 df-mopn 21361 df-fbas 21362 df-fg 21363 df-cnfld 21366 df-top 22901 df-topon 22918 df-topsp 22940 df-bases 22954 df-cld 23028 df-ntr 23029 df-cls 23030 df-nei 23107 df-lp 23145 df-perf 23146 df-cn 23236 df-cnp 23237 df-haus 23324 df-cmp 23396 df-tx 23571 df-hmeo 23764 df-fil 23855 df-fm 23947 df-flim 23948 df-flf 23949 df-xms 24331 df-ms 24332 df-tms 24333 df-cncf 24905 df-0p 25706 df-limc 25902 df-dv 25903 df-dvn 25904 df-cpn 25905 df-ply 26228 df-coe 26230 df-dgr 26231

This theorem is referenced by: aalioulem4 26378

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