aalioulem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > aalioulem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem aalioulem3 25494

Description: Lemma for aaliou 25498. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
aalioulem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥,𝑟 𝑥,𝐴,𝑟 𝑥,𝐹,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1re 10975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resubcl 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5		peano2re 11148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7		reelprrecn 10963	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8		ssid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		fncpn 25097	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀
11		1nn0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
12		fnfvelrn 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ) Fn ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
13	10, 11, 12	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ)
14		intss1 4894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) → ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17		plycpn 25449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑C^𝑛‘ℂ))
19	15, 18	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1))
20		cpnres 25101	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
21	7, 19, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C^𝑛‘ℝ)‘1))
22		df-ima 5602	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23		zssre 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24		ax-resscn 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		plyss 25360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
26	23, 24, 25	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
27	26, 16	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28		plyreres 25443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30	29	frnd 6608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
31	22, 30	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32		iccssre 13161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
33	4, 6, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
34	33, 24	sstrdi 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35		plyf 25359	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	16, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	36	fdmd 6611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
38	34, 37	sseqtrrd 3962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
39	4, 6, 21, 31, 38	c1lip3 25163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))))
40		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	41, 44	abssubd 15165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
46		simp3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1)
47	45, 46	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1)
48		1red 10976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49		elicc4abs 15031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
50	43, 48, 40, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟 − 𝐴)) ≤ 1))
51	47, 50	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
52	1	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52	subidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
54	53	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
55		abs0 14997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
56		0le1 11498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
57	55, 56	eqbrtri 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
58	54, 57	eqbrtrdi 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1)
59		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60		elicc4abs 15031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
61	1, 59, 1, 60	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) ≤ 1))
62	58, 61	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64	63	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑟))
66	65	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟)))
67	66	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))))
68		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑐 − 𝑏) = (𝑐 − 𝑟))
69	68	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐 − 𝑏)) = (abs‘(𝑐 − 𝑟)))
70	69	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))))
71	67, 70	breq12d 5087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟)))))
72		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐴))
73	72	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))))
74		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
75	74	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
76	73, 75	breq12d 5087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
77	71, 76	rspc2v 3570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
78	51, 64, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
79		simp1l 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) = 0)
82		0cn 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
83	81, 82	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
84	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85	84	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
86	85, 41	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
87	83, 86	abssubd 15165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))))
88	81	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑟) − 0))
89	86	subid1d 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − 0) = (𝐹‘𝑟))
90	88, 89	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝑟))
91	90	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝑟) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
92	87, 91	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) = (abs‘(𝐹‘𝑟)))
93	92	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
94	78, 93	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
95	94	3exp 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
96	95	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
97	96	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))))
98	97	ralrimdv 3105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
99	98	reximdva 3203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐 − 𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))))
100	39, 99	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
101		1rp 12734	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ⁺)
103		recn 10961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104	103	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105		neqne 2951	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106		absrpcl 15000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
107	104, 105, 106	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpreccld 12782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ⁺)
109	102, 108	ifclda 4494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺)
110		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111		eqif 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112	110, 111	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
114		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
116	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
120	119	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
124	115, 123	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) = 0)
125	113, 124	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0)
126	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127	117	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128	126, 127	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℂ)
130	129	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))
131	128	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
133		0re 10977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		letri3 11060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑟)))))
136	125, 130, 135	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = 0)
137	136	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · 0))
138		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
139	138	mul01i 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 0) = 0
140	137, 139	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = 0)
141	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
142	141	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
143	140, 142	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
144		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
145	144	breq1d 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
146	143, 145	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
147	146	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
148		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ)
151		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153	152, 106	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpcnne0d 12781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155		divrec2 11650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
156	155	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
157	150, 154, 156	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
158		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159	158, 120	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
160	158	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161	160	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162	161, 120	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ∈ ℝ)
163		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
164	119	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
165		leabs 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166	165	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167	158, 161, 120, 164, 166	lemul1ad 11914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
168	131, 159, 162, 163, 167	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
169	168	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
170	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
171	149, 170, 153	ledivmuld 12825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
172	169, 171	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
173	157, 172	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
174	148, 173	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
175		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
176	175	breq1d 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
177	174, 176	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
178	177	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
179	147, 178	jaod 856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
180	112, 179	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
181	180	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
182	181	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
183	182	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
184		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))))
185	184	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
186	185	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
187	186	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
188	187	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
189	109, 183, 188	syl6an 681	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
190	189	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
191	100, 190	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 ⊆ wss 3887 ifcif 4459 {cpr 4563 ∩ cint 4879 class class class wbr 5074 dom cdm 5589 ran crn 5590 ↾ cres 5591 “ cima 5592 Fn wfn 6428 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℝ⁺crp 12730 [,]cicc 13082 abscabs 14945 𝓑C^𝑛ccpn 25029 Polycply 25345 degcdgr 25348

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-grp 18580 df-minusg 18581 df-mulg 18701 df-subg 18752 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-mgp 19721 df-ur 19738 df-ring 19785 df-cring 19786 df-subrg 20022 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-fbas 20594 df-fg 20595 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-nei 22249 df-lp 22287 df-perf 22288 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-haus 22466 df-cmp 22538 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-fil 22997 df-fm 23089 df-flim 23090 df-flf 23091 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-cncf 24041 df-0p 24834 df-limc 25030 df-dv 25031 df-dvn 25032 df-cpn 25033 df-ply 25349 df-coe 25351 df-dgr 25352

This theorem is referenced by: aalioulem4 25495

W3C validator