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Theorem aalioulem3 24917
Description: Lemma for aaliou 24921. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑟   𝑥,𝐴,𝑟   𝑥,𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 10635 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 10944 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 588 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 10807 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 10623 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8 ssid 3989 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
9 fncpn 24524 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0
11 1nn0 11907 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 fnfvelrn 6843 . . . . . . . 8 (((𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)
14 intss1 4884 . . . . . . 7 (((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1) ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ) → ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17 plycpn 24872 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
1915, 18sseldi 3965 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1))
20 cpnres 24528 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
217, 19, 20sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
22 df-ima 5563 . . . . 5 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23 zssre 11982 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
24 ax-resscn 10588 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
25 plyss 24783 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
2623, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . 8 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
2726, 16sseldi 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28 plyreres 24866 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3029frnd 6516 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3122, 30eqsstrid 4015 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
32 iccssre 12812 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
334, 6, 32syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
3433, 24sstrdi 3979 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
35 plyf 24782 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3616, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3736fdmd 6518 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
3834, 37sseqtrrd 4008 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
394, 6, 21, 31, 38c1lip3 24590 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))))
40 simp2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4140recnd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
421adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43423ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4443recnd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4541, 44abssubd 14807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
46 simp3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1)
4745, 46eqbrtrd 5081 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1)
48 1red 10636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
49 elicc4abs 14673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5043, 48, 40, 49syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5147, 50mpbird 259 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
521recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5352subidd 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
5453fveq2d 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
55 abs0 14639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
56 0le1 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5755, 56eqbrtri 5080 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘0) ≤ 1
5854, 57eqbrtrdi 5098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1)
59 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 elicc4abs 14673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
611, 59, 1, 60syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
6258, 61mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
6362adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
64633ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
65 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑟))
6665oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)))
6766fveq2d 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))))
68 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝑐𝑏) = (𝑐𝑟))
6968fveq2d 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑐𝑟)))
7069oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))))
7167, 70breq12d 5072 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟)))))
72 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
7372fvoveq1d 7172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))))
74 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
7574oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
7673, 75breq12d 5072 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7771, 76rspc2v 3633 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
7851, 64, 77syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
79 simp1l 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
80 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) = 0)
82 0cn 10627 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
8381, 82eqeltrdi 2921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
8436adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
85843ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
8685, 41ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
8783, 86abssubd 14807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))))
8881oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑟) − 0))
8986subid1d 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − 0) = (𝐹𝑟))
9088, 89eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = (𝐹𝑟))
9190fveq2d 6669 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9287, 91eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9392breq1d 5069 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
9478, 93sylibd 241 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
95943exp 1115 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9695com34 91 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9796com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
9897ralrimdv 3188 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
9998reximdva 3274 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
10039, 99mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
101 1rp 12387 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ+)
103 recn 10621 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
104103adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
105 neqne 3024 . . . . . . 7 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
106 absrpcl 14642 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
107104, 105, 106syl2an 597 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
108107rpreccld 12435 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ+)
109102, 108ifclda 4501 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+)
110 eqid 2821 . . . . . . . . 9 if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
111 eqif 4507 . . . . . . . . 9 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
112110, 111mpbi 232 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
113 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
114 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
115114adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
1161ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
117 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
119118recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
120119abscld 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
121120recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
122121adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
123122mul02d 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
124115, 123eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
125113, 124breqtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0)
12636ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
127117recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
128126, 127ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
129128adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
130129absge0d 14798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))
131128abscld 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
132131adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
133 0re 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
134 letri3 10720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
135132, 133, 134sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
136125, 130, 135mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) = 0)
137136oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · 0))
138 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
139138mul01i 10824 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
140137, 139syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = 0)
141119adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
142141absge0d 14798 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
143140, 142eqbrtrd 5081 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
144 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹𝑟))))
145144breq1d 5069 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
146143, 145syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
147146expimpd 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
148 df-ne 3017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
149131adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
150149recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ)
151 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
152151recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
153152, 106sylancom 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
154153rpcnne0d 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
155 divrec2 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
1561553expb 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
157150, 154, 156syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
158 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
159158, 120remulcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
160158recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
161160abscld 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
162161, 120remulcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
163 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
164119absge0d 14798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
165 leabs 14653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
166165ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
167158, 161, 120, 164, 166lemul1ad 11573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
168131, 159, 162, 163, 167letrd 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
169168adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
170120adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
171149, 170, 153ledivmuld 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟)))))
172169, 171mpbird 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
173157, 172eqbrtrrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
174148, 173sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
175 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
176175breq1d 5069 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
177174, 176syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
178177expimpd 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
179147, 178jaod 855 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
180112, 179mpi 20 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
181180expr 459 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
182181imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
183182ralimdva 3177 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
184 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))))
185184breq1d 5069 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
186185imbi2d 343 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
187186ralbidv 3197 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
188187rspcev 3623 . . . 4 ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
189109, 183, 188syl6an 682 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
190189rexlimdva 3284 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
191100, 190mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  wss 3936  ifcif 4467  {cpr 4563   cint 4869   class class class wbr 5059  dom cdm 5550  ran crn 5551  cres 5552  cima 5553   Fn wfn 6345  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975  +crp 12383  [,]cicc 12735  abscabs 14587  𝓑C𝑛ccpn 24457  Polycply 24768  degcdgr 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-0p 24265  df-limc 24458  df-dv 24459  df-dvn 24460  df-cpn 24461  df-ply 24772  df-coe 24774  df-dgr 24775
This theorem is referenced by:  aalioulem4  24918
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