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Theorem aalioulem3 26083
Description: Lemma for aaliou 26087. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,π‘Ÿ   π‘₯,𝐴,π‘Ÿ   π‘₯,𝐹,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,π‘Ÿ)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 11218 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 11528 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 11391 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 11204 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8 ssid 4003 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
9 fncpn 25683 . . . . . . . . 9 (β„‚ βŠ† β„‚ β†’ (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0
11 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
12 fnfvelrn 7081 . . . . . . . 8 (((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1310, 11, 12mp2an 688 . . . . . . 7 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)
14 intss1 4966 . . . . . . 7 (((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) β†’ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
17 plycpn 26038 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1915, 18sselid 3979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1))
20 cpnres 25687 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1)) β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
217, 19, 20sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
22 df-ima 5688 . . . . 5 (𝐹 β€œ ℝ) = ran (𝐹 β†Ύ ℝ)
23 zssre 12569 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
24 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
25 plyss 25948 . . . . . . . . 9 ((β„€ βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„))
2623, 24, 25mp2an 688 . . . . . . . 8 (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„)
2726, 16sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
28 plyreres 26032 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
3029frnd 6724 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ ℝ) βŠ† ℝ)
3122, 30eqsstrid 4029 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
32 iccssre 13410 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† ℝ)
334, 6, 32syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† ℝ)
3433, 24sstrdi 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† β„‚)
35 plyf 25947 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3616, 35syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3736fdmd 6727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = β„‚)
3834, 37sseqtrrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† dom 𝐹)
394, 6, 21, 31, 38c1lip3 25751 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
40 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4140recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
421adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43423ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4443recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4541, 44abssubd 15404 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
46 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1)
4745, 46eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1)
48 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
49 elicc4abs 15270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
5043, 48, 40, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
5147, 50mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
521recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5352subidd 11563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
5453fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜0))
55 abs0 15236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absβ€˜0) = 0
56 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≀ 1
5755, 56eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜0) ≀ 1
5854, 57eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1)
59 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
60 elicc4abs 15270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
611, 59, 1, 60syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
6258, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
6362adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
64633ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
65 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
6665oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ)))
6766fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))))
68 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) = (𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))
6968fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)))
7069oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) = (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))))
7167, 70breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)))))
72 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΄))
7372fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))))
74 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
7574oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))) = (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
7673, 75breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
7771, 76rspc2v 3621 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
7851, 64, 77syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
79 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ πœ‘)
80 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
82 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
8381, 82eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8436adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
85843ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
8685, 41ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
8783, 86abssubd 15404 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8881oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ 0))
8986subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
9088, 89eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
9190fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
9287, 91eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
9392breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
9478, 93sylibd 238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
95943exp 1117 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9695com34 91 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9796com23 86 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9897ralrimdv 3150 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
9998reximdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
10039, 99mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
101 1rp 12982 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 1 ∈ ℝ+)
103 recn 11202 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
104103adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
105 neqne 2946 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž β‰  0)
106 absrpcl 15239 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
107104, 105, 106syl2an 594 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
108107rpreccld 13030 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (1 / (absβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ+)
109102, 108ifclda 4562 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ∈ ℝ+)
110 eqid 2730 . . . . . . . . 9 if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž)))
111 eqif 4568 . . . . . . . . 9 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ↔ ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)))))
112110, 111mpbi 229 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž))))
113 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
114 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
115114adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
1161ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
117 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
119118recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ β„‚)
120119abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
121120recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
122121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
123122mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = 0)
124115, 123eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = 0)
125113, 124breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0)
12636ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
127117recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
128126, 127ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
129128adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
130129absge0d 15395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
131128abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
132131adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
133 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
134 letri3 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))))
135132, 133, 134sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))))
136125, 130, 135mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0)
137136oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (1 Β· 0))
138 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„‚
139138mul01i 11408 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 0) = 0
140137, 139eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = 0)
141119adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ β„‚)
142141absge0d 15395 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
143140, 142eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
144 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
145144breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
146143, 145syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
147146expimpd 452 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
148 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž β‰  0 ↔ Β¬ π‘Ž = 0)
149131adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
150149recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
151 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
152151recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
153152, 106sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
154153rpcnne0d 13029 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0))
155 divrec2 11893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
1561553expb 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚ ∧ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
157150, 154, 156syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
158 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
159158, 120remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ∈ ℝ)
160158recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
161160abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
162161, 120remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ∈ ℝ)
163 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
164119absge0d 15395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
165 leabs 15250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ≀ (absβ€˜π‘Ž))
166165ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ≀ (absβ€˜π‘Ž))
167158, 161, 120, 164, 166lemul1ad 12157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
168131, 159, 162, 163, 167letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
169168adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
170120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
171149, 170, 153ledivmuld 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
172169, 171mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
173157, 172eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
174148, 173sylan2br 593 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
175 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
176175breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
177174, 176syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
178177expimpd 452 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
179147, 178jaod 855 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
180112, 179mpi 20 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
181180expr 455 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
182181imim2d 57 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
183182ralimdva 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
184 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
185184breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
186185imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
187186ralbidv 3175 . . . . 5 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
188187rspcev 3611 . . . 4 ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
189109, 183, 188syl6an 680 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
190189rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
191100, 190mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {cpr 4629  βˆ© cint 4949   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„+crp 12978  [,]cicc 13331  abscabs 15185  π“‘C𝑛ccpn 25614  Polycply 25933  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617  df-cpn 25618  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
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