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Theorem aalioulem3 25847
Description: Lemma for aaliou 25851. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,π‘Ÿ   π‘₯,𝐴,π‘Ÿ   π‘₯,𝐹,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,π‘Ÿ)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 11214 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 11524 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 11387 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 11202 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8 ssid 4005 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
9 fncpn 25450 . . . . . . . . 9 (β„‚ βŠ† β„‚ β†’ (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0
11 1nn0 12488 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
12 fnfvelrn 7083 . . . . . . . 8 (((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)
14 intss1 4968 . . . . . . 7 (((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1) ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) β†’ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
17 plycpn 25802 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
1915, 18sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1))
20 cpnres 25454 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜1)) β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
217, 19, 20sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
22 df-ima 5690 . . . . 5 (𝐹 β€œ ℝ) = ran (𝐹 β†Ύ ℝ)
23 zssre 12565 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
24 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
25 plyss 25713 . . . . . . . . 9 ((β„€ βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . 8 (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„)
2726, 16sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
28 plyreres 25796 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
3029frnd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ ℝ) βŠ† ℝ)
3122, 30eqsstrid 4031 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
32 iccssre 13406 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† ℝ)
334, 6, 32syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† ℝ)
3433, 24sstrdi 3995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† β„‚)
35 plyf 25712 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3616, 35syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3736fdmd 6729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = β„‚)
3834, 37sseqtrrd 4024 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) βŠ† dom 𝐹)
394, 6, 21, 31, 38c1lip3 25516 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
40 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4140recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
421adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43423ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4443recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4541, 44abssubd 15400 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
46 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1)
4745, 46eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1)
48 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
49 elicc4abs 15266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
5043, 48, 40, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(π‘Ÿ βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
5147, 50mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
521recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5352subidd 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
5453fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜0))
55 abs0 15232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absβ€˜0) = 0
56 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≀ 1
5755, 56eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜0) ≀ 1
5854, 57eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1)
59 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
60 elicc4abs 15266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
611, 59, 1, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) ≀ 1))
6258, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)))
65 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
6665oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ)))
6766fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))))
68 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) = (𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))
6968fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) = (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))))
7167, 70breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)))))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΄))
7372fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))))
74 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
7574oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))) = (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
7673, 75breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
7771, 76rspc2v 3623 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
7851, 64, 77syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
79 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ πœ‘)
80 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
82 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
8381, 82eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8436adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
85843ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
8685, 41ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
8783, 86abssubd 15400 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8881oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ 0))
8986subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
9088, 89eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π‘Ÿ))
9190fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ÿ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
9287, 91eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
9392breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
9478, 93sylibd 238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
95943exp 1120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9695com34 91 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9796com23 86 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))))
9897ralrimdv 3153 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
9998reximdva 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)[,](𝐴 + 1))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
10039, 99mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
101 1rp 12978 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 1 ∈ ℝ+)
103 recn 11200 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
104103adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
105 neqne 2949 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž β‰  0)
106 absrpcl 15235 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
107104, 105, 106syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
108107rpreccld 13026 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (1 / (absβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ+)
109102, 108ifclda 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ∈ ℝ+)
110 eqid 2733 . . . . . . . . 9 if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž)))
111 eqif 4570 . . . . . . . . 9 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ↔ ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)))))
112110, 111mpbi 229 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž))))
113 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
114 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
115114adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
1161ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
117 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
119118recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ β„‚)
120119abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
121120recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
122121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
123122mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = 0)
124115, 123eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) = 0)
125113, 124breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0)
12636ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
127117recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
128126, 127ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
129128adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ β„‚)
130129absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
131128abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
132131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
133 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
134 letri3 11299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))))
135132, 133, 134sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)))))
136125, 130, 135mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = 0)
137136oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (1 Β· 0))
138 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„‚
139138mul01i 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 0) = 0
140137, 139eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = 0)
141119adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ β„‚)
142141absge0d 15391 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
143140, 142eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
144 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
145144breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (1 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
146143, 145syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž = 0) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
147146expimpd 455 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
148 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž β‰  0 ↔ Β¬ π‘Ž = 0)
149131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
150149recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
151 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
152151recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
153152, 106sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ+)
154153rpcnne0d 13025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0))
155 divrec2 11889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
1561553expb 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ∈ β„‚ ∧ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) β‰  0)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
157150, 154, 156syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
158 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
159158, 120remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ∈ ℝ)
160158recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
161160abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
162161, 120remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ∈ ℝ)
163 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
164119absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
165 leabs 15246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ≀ (absβ€˜π‘Ž))
166165ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ π‘Ž ≀ (absβ€˜π‘Ž))
167158, 161, 120, 164, 166lemul1ad 12153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
168131, 159, 162, 163, 167letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
169168adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
170120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
171149, 170, 153ledivmuld 13069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ ((absβ€˜π‘Ž) Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
172169, 171mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) / (absβ€˜π‘Ž)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
173157, 172eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ π‘Ž β‰  0) β†’ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
174148, 173sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
175 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
176175breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ ((1 / (absβ€˜π‘Ž)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
177174, 176syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) ∧ Β¬ π‘Ž = 0) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
178177expimpd 455 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ ((Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
179147, 178jaod 858 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (((π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = 1) ∨ (Β¬ π‘Ž = 0 ∧ if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) = (1 / (absβ€˜π‘Ž)))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
180112, 179mpi 20 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
181180expr 458 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
182181imim2d 57 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
183182ralimdva 3168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
184 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) = (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))))
185184breq1d 5159 . . . . . . 7 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
186185imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
187186ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
188187rspcev 3613 . . . 4 ((if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (if(π‘Ž = 0, 1, (1 / (absβ€˜π‘Ž))) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
189109, 183, 188syl6an 683 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
190189rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ (π‘Ž Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
191100, 190mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  abscabs 15181  π“‘C𝑛ccpn 25382  Polycply 25698  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385  df-cpn 25386  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
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