MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycpn 25793
Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
plycpn (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))

Proof of Theorem plycpn
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25703 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3 cnex 11187 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
43, 3fpm 8865 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
6 dvnply 25792 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ))
7 plycn 25766 . . . . . . 7 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
92fdmd 6725 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 = ℂ)
109oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (dom 𝐹cn→ℂ) = (ℂ–cn→ℂ))
118, 10eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
12 ssidd 4004 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
13 elcpn 25442 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
1412, 13sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
155, 11, 14mpbir2and 711 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛))
1615ralrimiva 3146 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛))
17 ssid 4003 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
18 fncpn 25441 . . . 4 (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
19 eleq2 2822 . . . . 5 (𝑥 = ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛) → (𝐹𝑥𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛)))
2019ralrn 7086 . . . 4 ((𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)𝐹𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛)))
2117, 18, 20mp2b 10 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)𝐹𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑛))
2216, 21sylibr 233 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)𝐹𝑥)
23 elintg 4957 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝓑C𝑛‘ℂ)𝐹𝑥))
2422, 23mpbird 256 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ran (𝓑C𝑛‘ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3061  wss 3947   cint 4949  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  pm cpm 8817  cc 11104  0cn0 12468  cnccncf 24383   D𝑛 cdvn 25372  𝓑C𝑛ccpn 25373  Polycply 25689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376  df-cpn 25377  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  aalioulem3  25838
  Copyright terms: Public domain W3C validator