MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycpn 26167
Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
plycpn (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))

Proof of Theorem plycpn
Dummy variables π‘₯ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 26076 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3 cnex 11188 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
43, 3fpm 8866 . . . . . 6 (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
6 dvnply 26166 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7 plycn 26139 . . . . . . 7 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
92fdmd 6719 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ dom 𝐹 = β„‚)
109oveq1d 7417 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) = (ℂ–cnβ†’β„‚))
118, 10eleqtrrd 2828 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
12 ssidd 3998 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
13 elcpn 25808 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
1412, 13sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
155, 11, 14mpbir2and 710 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›))
1615ralrimiva 3138 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›))
17 ssid 3997 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
18 fncpn 25807 . . . 4 (β„‚ βŠ† β„‚ β†’ (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0)
19 eleq2 2814 . . . . 5 (π‘₯ = ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›) β†’ (𝐹 ∈ π‘₯ ↔ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›)))
2019ralrn 7080 . . . 4 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)𝐹 ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›)))
2117, 18, 20mp2b 10 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)𝐹 ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘›))
2216, 21sylibr 233 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)𝐹 ∈ π‘₯)
23 elintg 4949 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)𝐹 ∈ π‘₯))
2422, 23mpbird 257 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ ∩ ran (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3941  βˆ© cint 4941  dom cdm 5667  ran crn 5668   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑pm cpm 8818  β„‚cc 11105  β„•0cn0 12471  β€“cnβ†’ccncf 24740   D𝑛 cdvn 25737  π“‘C𝑛ccpn 25738  Polycply 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-0p 25543  df-limc 25739  df-dv 25740  df-dvn 25741  df-cpn 25742  df-ply 26066  df-coe 26068  df-dgr 26069
This theorem is referenced by:  aalioulem3  26212
  Copyright terms: Public domain W3C validator