Theorem plycpn 26625

Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
plycpn	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝒞𝑛‘ℂ))

Proof of Theorem plycpn

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		cnex 11294	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3, 3	fpm 8917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
6		dvnply 26624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ))
7		plycn 26595	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9	2	fdmd 6731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 = ℂ)
10	9	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (dom 𝐹–cn→ℂ) = (ℂ–cn→ℂ))
11	8, 10	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
12		ssidd 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
13		elcpn 26269	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))))
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))))
15	5, 11, 14	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛))
16	15	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛))
17		ssid 3935	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
18		fncpn 26268	. . . 4 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝒞𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
19		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛) → (𝐹 ∈ 𝑥 ↔ 𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛)))
20	19	ralrn 7099	. . . 4 ⊢ ((𝒞𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (𝒞𝑛‘ℂ)𝐹 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛)))
21	17, 18, 20	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (𝒞𝑛‘ℂ)𝐹 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((𝒞𝑛‘ℂ)‘𝑛))
22	16, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ ran (𝒞𝑛‘ℂ)𝐹 ∈ 𝑥)
23		elintg 4918	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ∈ ∩ ran (𝒞𝑛‘ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝒞𝑛‘ℂ)𝐹 ∈ 𝑥))
24	22, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ ∩ ran (𝒞𝑛‘ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4910  dom cdm 5655  ran crn 5656   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_pm cpm 8862  ℂcc 11211  ℕ₀cn0 12619  –cn→ccncf 25212   D^𝑛 cdvn 26199  𝒞^𝑛ccpn 26200  Polycply 26517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-0p 26006  df-limc 26201  df-dv 26202  df-dvn 26203  df-cpn 26204  df-ply 26521  df-coe 26523  df-dgr 26524

This theorem is used by:  aalioulem3  26676