MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgr0 29212
Description: The null graph (graph without vertices) is a friendship graph. (Contributed by AV, 29-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
frgr0 ∅ ∈ FriendGraph

Proof of Theorem frgr0
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgr0 28194 . 2 ∅ ∈ USGraph
2 ral0 4471 . 2 𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ (∅ ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ ∅ {{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘∅)
3 vtxval0 27993 . . . 4 (Vtx‘∅) = ∅
43eqcomi 2746 . . 3 ∅ = (Vtx‘∅)
5 eqid 2737 . . 3 (Edg‘∅) = (Edg‘∅)
64, 5isfrgr 29207 . 2 (∅ ∈ FriendGraph ↔ (∅ ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ (∅ ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ ∅ {{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘∅)))
71, 2, 6mpbir2an 710 1 ∅ ∈ FriendGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wral 3065  ∃!wreu 3352  cdif 3908  wss 3911  c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  cfv 6497  Vtxcvtx 27950  Edgcedg 28001  USGraphcusgr 28103   FriendGraph cfrgr 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-dec 12620  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-edgf 27941  df-vtx 27952  df-iedg 27953  df-usgr 28105  df-frgr 29206
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator