Theorem gbowge7 47750

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 47759, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 47749	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2		gbowpos 47746	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3		5nn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12641	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12667	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10		5p1e6 12413	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	breq1i 5150	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12		6re 12356	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
13	2	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14		leloe 11347	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
16	11, 15	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17		6nn 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12641	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
19	2	nnzd 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
21	20	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
22	18, 19, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23		6p1e7 12414	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
24	23	breq1i 5150	. . . . . 6 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
25	22, 24	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26		isgbow 47739	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28		6even 47698	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ Even
29		evennodd 47630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
32	27, 31	biimtrrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
35	26, 34	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
36	25, 35	jaod 860	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
37	16, 36	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
38	9, 37	syld 47	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
39	1, 38	mpd 15	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  ℤcz 12613  ℙcprime 16708   Even ceven 47611   Odd codd 47612   GoldbachOddW cgbow 47733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-even 47613  df-odd 47614  df-gbow 47736

This theorem is referenced by: (None)