Theorem gbowge7 47637

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 47646, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 47636	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2		gbowpos 47633	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3		5nn 12379	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12667	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12693	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10		5p1e6 12440	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	breq1i 5173	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12		6re 12383	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
13	2	nnred 12308	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14		leloe 11376	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
16	11, 15	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17		6nn 12382	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12667	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
19	2	nnzd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12693	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
21	20	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
22	18, 19, 21	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23		6p1e7 12441	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
24	23	breq1i 5173	. . . . . 6 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
25	22, 24	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26		isgbow 47626	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28		6even 47585	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ Even
29		evennodd 47517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
32	27, 31	biimtrrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
35	26, 34	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
36	25, 35	jaod 858	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
37	16, 36	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
38	9, 37	syld 47	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
39	1, 38	mpd 15	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  ℤcz 12639  ℙcprime 16718   Even ceven 47498   Odd codd 47499   GoldbachOddW cgbow 47620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-even 47500  df-odd 47501  df-gbow 47623

This theorem is referenced by: (None)