Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbowge7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbowge7 46045
Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 46054, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbowge7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbowgt5 46044 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2 gbowpos 46041 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3 5nn 12247 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
43nnzi 12535 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
5 nnz 12528 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6 zltp1le 12561 . . . . . 6 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
74, 5, 6sylancr 588 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
87biimpd 228 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
92, 8syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10 5p1e6 12308 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
1110breq1i 5116 . . . . 5 ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12 6re 12251 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
132nnred 12176 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14 leloe 11249 . . . . . 6 ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1611, 15bitrid 283 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17 6nn 12250 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
1817nnzi 12535 . . . . . . 7 6 ∈ ℤ
192nnzd 12534 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20 zltp1le 12561 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
2120biimpd 228 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
2218, 19, 21sylancr 588 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23 6p1e7 12309 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
2423breq1i 5116 . . . . . 6 ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
2522, 24syl6ib 251 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26 isgbow 46034 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28 6even 45993 . . . . . . . . . 10 6 ∈ Even
29 evennodd 45925 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9 (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
3227, 31syl6bir 254 . . . . . . . 8 (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3526, 34sylbi 216 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3625, 35jaod 858 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
3716, 36sylbid 239 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
389, 37syld 47 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
391, 38mpd 15 1 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  cle 11198  cn 12161  5c5 12219  6c6 12220  7c7 12221  cz 12507  cprime 16555   Even ceven 45906   Odd codd 45907   GoldbachOddW cgbow 46028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-even 45908  df-odd 45909  df-gbow 46031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator