Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbowge7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbowge7 43364
Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 43373, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbowge7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbowgt5 43363 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2 gbowpos 43360 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3 5nn 11560 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
43nnzi 11844 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
5 nnz 11842 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6 zltp1le 11870 . . . . . 6 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
74, 5, 6sylancr 587 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
87biimpd 230 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
92, 8syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10 5p1e6 11621 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
1110breq1i 4963 . . . . 5 ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12 6re 11564 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
132nnred 11490 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14 leloe 10563 . . . . . 6 ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1611, 15syl5bb 284 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17 6nn 11563 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11844 . . . . . . 7 6 ∈ ℤ
192nnzd 11924 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20 zltp1le 11870 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
2120biimpd 230 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
2218, 19, 21sylancr 587 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23 6p1e7 11622 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
2423breq1i 4963 . . . . . 6 ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
2522, 24syl6ib 252 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26 isgbow 43353 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27 eleq1 2868 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28 6even 43312 . . . . . . . . . 10 6 ∈ Even
29 evennodd 43244 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9 (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
3227, 31syl6bir 255 . . . . . . . 8 (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3526, 34sylbi 218 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3625, 35jaod 854 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
3716, 36sylbid 241 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
389, 37syld 47 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
391, 38mpd 15 1 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1520  wcel 2079  wrex 3104   class class class wbr 4956  (class class class)co 7007  cr 10371  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  cn 11475  5c5 11532  6c6 11533  7c7 11534  cz 11818  cprime 15832   Even ceven 43225   Odd codd 43226   GoldbachOddW cgbow 43347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-prm 15833  df-even 43227  df-odd 43228  df-gbow 43350
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator