Theorem gbowge7 45215

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 45224, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 45214	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2		gbowpos 45211	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3		5nn 12059	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12344	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12342	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12370	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10		5p1e6 12120	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	breq1i 5081	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12		6re 12063	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
13	2	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14		leloe 11061	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
16	11, 15	syl5bb 283	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17		6nn 12062	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12344	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
19	2	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12370	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
21	20	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
22	18, 19, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23		6p1e7 12121	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
24	23	breq1i 5081	. . . . . 6 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
25	22, 24	syl6ib 250	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26		isgbow 45204	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28		6even 45163	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ Even
29		evennodd 45095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
32	27, 31	syl6bir 253	. . . . . . . 8 ⊢ (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
35	26, 34	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
36	25, 35	jaod 856	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
37	16, 36	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
38	9, 37	syld 47	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
39	1, 38	mpd 15	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  ℤcz 12319  ℙcprime 16376   Even ceven 45076   Odd codd 45077   GoldbachOddW cgbow 45198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-even 45078  df-odd 45079  df-gbow 45201

This theorem is referenced by: (None)