Theorem gbowge7 48528

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 48537, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 48527	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2		gbowpos 48524	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3		5nn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12613	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12607	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12639	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10		5p1e6 12382	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	breq1i 5116	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12		6re 12326	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
13	2	nnred 12243	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14		leloe 11291	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
15	12, 13, 14	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
16	11, 15	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17		6nn 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12613	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
19	2	nnzd 12612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12639	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
21	20	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
22	18, 19, 21	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23		6p1e7 12383	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
24	23	breq1i 5116	. . . . . 6 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
25	22, 24	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26		isgbow 48517	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28		6even 48476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ Even
29		evennodd 48408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30		pm2.21 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
32	27, 31	biimtrrdi 257	. . . . . . . 8 ⊢ (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
33	32	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
35	26, 34	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
36	25, 35	jaod 872	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
37	16, 36	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
38	9, 37	syld 48	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
39	1, 38	mpd 16	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  5c5 12293  6c6 12294  7c7 12295  ℤcz 12586  ℙcprime 16724   Even ceven 48389   Odd codd 48390   GoldbachOddW cgbow 48511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725  df-even 48391  df-odd 48392  df-gbow 48514

This theorem is referenced by: (None)