Theorem gbowge7 48830

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 48839, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 48829	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2		gbowpos 48826	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3		5nn 12422	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12713	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12707	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12739	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10		5p1e6 12482	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12		6re 12426	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
13	2	nnred 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14		leloe 11389	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
16	11, 15	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17		6nn 12425	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12713	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
19	2	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12739	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
21	20	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
22	18, 19, 21	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23		6p1e7 12483	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
24	23	breq1i 5110	. . . . . 6 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
25	22, 24	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26		isgbow 48819	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28		6even 48778	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ Even
29		evennodd 48710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30		pm2.21 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
32	27, 31	biimtrrdi 257	. . . . . . . 8 ⊢ (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
33	32	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
35	26, 34	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
36	25, 35	jaod 873	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
37	16, 36	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
38	9, 37	syld 48	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
39	1, 38	mpd 16	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  ℤcz 12686  ℙcprime 16839   Even ceven 48691   Odd codd 48692   GoldbachOddW cgbow 48813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840  df-even 48693  df-odd 48694  df-gbow 48816

This theorem is used by: (None)