MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaddcld 11686
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnaddcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnmulcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nnaddcl 11657 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7149   + caddc 10538  cn 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-1cn 10593  ax-addcl 10595  ax-addass 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635
This theorem is referenced by:  relexpaddnn  14410  pythagtriplem4  16154  pythagtriplem6  16156  pythagtriplem7  16157  pythagtriplem11  16160  pythagtriplem13  16162  pythagtriplem15  16164  vdwlem1  16315  vdwlem3  16317  vdwlem5  16319  vdwlem6  16320  vdwlem8  16322  vdwlem9  16323  vdwlem10  16324  vdwlem11  16325  prmgaplem2  16384  prmgaplcmlem2  16386  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  aaliou3lem8  24947  lgsqrlem2  25937  lgseisenlem2  25966  2sqmod  26026  mdetlap  31160  ballotlem5  31817  faclimlem1  33035  faclimlem2  33036  faclim2  33040  lcmineqlem22  39289  nnadddir  39405  fmtnoprmfac2  44014  gbowpos  44207
  Copyright terms: Public domain W3C validator