Theorem nnaddcld 11526

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnaddcl 11497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007   + caddc 10375  ℕcn 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-1cn 10430  ax-addcl 10432  ax-addass 10437

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-nn 11476

This theorem is referenced by:  relexpaddnn  14232  pythagtriplem4  15973  pythagtriplem6  15975  pythagtriplem7  15976  pythagtriplem11  15979  pythagtriplem13  15981  pythagtriplem15  15983  vdwlem1  16134  vdwlem3  16136  vdwlem5  16138  vdwlem6  16139  vdwlem8  16141  vdwlem9  16142  vdwlem10  16143  vdwlem11  16144  prmgaplem2  16203  prmgaplcmlem2  16205  gsumccat  17805  aaliou3lem8  24605  lgsqrlem2  25593  lgseisenlem2  25622  2sqmod  25682  mdetlap  30668  ballotlem5  31330  faclimlem1  32528  faclimlem2  32529  faclim2  32533  fmtnoprmfac2  43165  gbowpos  43360