Theorem nnaddcld 12221

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnaddcl 12189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357   + caddc 11033  ℕcn 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090  ax-addass 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-nn 12167

This theorem is referenced by:  nnadddir  12225  relexpaddnn  15005  pythagtriplem4  16782  pythagtriplem6  16784  pythagtriplem7  16785  pythagtriplem11  16788  pythagtriplem13  16790  pythagtriplem15  16792  vdwlem1  16944  vdwlem3  16946  vdwlem5  16948  vdwlem6  16949  vdwlem8  16951  vdwlem9  16952  vdwlem10  16953  vdwlem11  16954  prmgaplem2  17013  prmgaplcmlem2  17015  gsumsgrpccat  18800  aaliou3lem8  26330  lgsqrlem2  27329  lgseisenlem2  27358  2sqmod  27418  mdetlap  34025  ballotlem5  34693  faclimlem1  35980  faclimlem2  35981  faclim2  35985  lcmineqlem22  42544  zaddcom  42963  fimgmcyc  43029  flt4lem6  43117  fmtnoprmfac2  48053  gbowpos  48258