Theorem nnaddcld 12263

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnaddcl 12234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408   + caddc 11112  ℕcn 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169  ax-addass 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212

This theorem is referenced by:  relexpaddnn  14997  pythagtriplem4  16751  pythagtriplem6  16753  pythagtriplem7  16754  pythagtriplem11  16757  pythagtriplem13  16759  pythagtriplem15  16761  vdwlem1  16913  vdwlem3  16915  vdwlem5  16917  vdwlem6  16918  vdwlem8  16920  vdwlem9  16921  vdwlem10  16922  vdwlem11  16923  prmgaplem2  16982  prmgaplcmlem2  16984  gsumsgrpccat  18720  aaliou3lem8  25857  lgsqrlem2  26847  lgseisenlem2  26876  2sqmod  26936  mdetlap  32807  ballotlem5  33493  faclimlem1  34708  faclimlem2  34709  faclim2  34713  lcmineqlem22  40910  nnadddir  41186  zaddcom  41326  flt4lem6  41401  fmtnoprmfac2  46225  gbowpos  46417