Theorem odulub 18579

Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l	⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulub	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulub.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)
2		vex 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
3		vex 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
5	4	ralbii 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6		vex 3455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	2, 6	brcnv 5860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
8	7	ralbii 3109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
9	3, 6	brcnv 5860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑏)
10	8, 9	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
11	10	ralbii 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
12	5, 11	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
14	13	riotabiia 7397	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
15	14	mpteq2i 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
16	12	reubii 3375	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
17	16	abbii 2828	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
18	15, 17	reseq12i 5968	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
19	18	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))})
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23		biid 264	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	glbfval 18535	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18465	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18463	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
31		biid 264	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))
32		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	lubfval 18522	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
34	27, 33	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∀wral 3077  ∃!wreu 3364  Vcvv 3451  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  Basecbs 17387  lecple 17435  ODualcodu 18460  lubclub 18483  glbcglb 18484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ple 17448  df-odu 18461  df-lub 18518  df-glb 18519

This theorem is used by:  odujoin  18580  posglbdg  18587  oduclatb  18681  glbprlem  50072