Theorem odulub 18310

Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l	⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulub	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulub.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)
2		vex 3450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
3		vex 3450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
5	4	ralbii 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6		vex 3450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	2, 6	brcnv 5843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
8	7	ralbii 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
9	3, 6	brcnv 5843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑏)
10	8, 9	imbi12i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
11	10	ralbii 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
12	5, 11	anbi12i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
14	13	riotabiia 7339	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
15	14	mpteq2i 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
16	12	reubii 3360	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
17	16	abbii 2801	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
18	15, 17	reseq12i 5940	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
19	18	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))})
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23		biid 260	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	glbfval 18266	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6861	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18194	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18192	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
31		biid 260	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	lubfval 18253	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
34	27, 33	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2708  ∀wral 3060  ∃!wreu 3349  Vcvv 3446  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  ‘cfv 6501  ℩crio 7317  Basecbs 17094  lecple 17154  ODualcodu 18189  lubclub 18212  glbcglb 18213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-dec 12628  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ple 17167  df-odu 18190  df-lub 18249  df-glb 18250

This theorem is referenced by:  odujoin  18311  posglbdg  18318  oduclatb  18410  glbprlem  47118