Theorem odulub 18125

Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l	⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulub	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulub.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)
2		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
3		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
5	4	ralbii 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	2, 6	brcnv 5791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
8	7	ralbii 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
9	3, 6	brcnv 5791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑏)
10	8, 9	imbi12i 351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
11	10	ralbii 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
12	5, 11	anbi12i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
14	13	riotabiia 7253	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
15	14	mpteq2i 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
16	12	reubii 3325	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
17	16	abbii 2808	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
18	15, 17	reseq12i 5889	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
19	18	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))})
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23		biid 260	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	glbfval 18081	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18009	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18007	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
31		biid 260	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	lubfval 18068	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
34	27, 33	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∀wral 3064  ∃!wreu 3066  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  Basecbs 16912  lecple 16969  ODualcodu 18004  lubclub 18027  glbcglb 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ple 16982  df-odu 18005  df-lub 18064  df-glb 18065

This theorem is referenced by:  odujoin  18126  posglbdg  18133  oduclatb  18225  glbprlem  46259