Theorem odulub 18366

Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l	⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulub	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulub.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (glb‘𝑂)
2		vex 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
3		vex 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
5	4	ralbii 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6		vex 3451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	2, 6	brcnv 5846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
8	7	ralbii 3075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
9	3, 6	brcnv 5846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑑 ↔ 𝑑(le‘𝑂)𝑏)
10	8, 9	imbi12i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
11	10	ralbii 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))
12	5, 11	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
14	13	riotabiia 7364	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
15	14	mpteq2i 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
16	12	reubii 3363	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
17	16	abbii 2796	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
18	15, 17	reseq12i 5948	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
19	18	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))})
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23		biid 261	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	glbfval 18322	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6872	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18252	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18250	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
31		biid 261	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	lubfval 18309	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
34	27, 33	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐◡(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏◡(le‘𝑂)𝑑))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝐿 = (lub‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃!wreu 3352  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  ℩crio 7343  Basecbs 17179  lecple 17227  ODualcodu 18247  lubclub 18270  glbcglb 18271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18248  df-lub 18305  df-glb 18306

This theorem is referenced by:  odujoin  18367  posglbdg  18374  oduclatb  18466  glbprlem  48953