MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odulub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odulub 18366
Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
odulub.l 𝐿 = (glbβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
odulub (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝐿 = (lubβ€˜π·))

Proof of Theorem odulub
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odulub.l . 2 𝐿 = (glbβ€˜π‘‚)
2 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
3 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42, 3brcnv 5883 . . . . . . . . . 10 (𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐)
54ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐)
6 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
72, 6brcnv 5883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐)
87ralbii 3091 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐)
93, 6brcnv 5883 . . . . . . . . . . 11 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)
108, 9imbi12i 349 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))
1110ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))
125, 11anbi12i 625 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))))
1413riotabiia 7390 . . . . . 6 (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1514mpteq2i 5254 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))))
1612reubii 3383 . . . . . 6 (βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1716abbii 2800 . . . . 5 {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))} = {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}
1815, 17reseq12i 5980 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))})
1918eqcomi 2739 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))})
20 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
21 eqid 2730 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
22 eqid 2730 . . . 4 (glbβ€˜π‘‚) = (glbβ€˜π‘‚)
23 biid 260 . . . 4 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24glbfval 18322 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (glbβ€˜π‘‚) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
2726fvexi 6906 . . . 4 𝐷 ∈ V
2826, 20odubas 18250 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·)
2926, 21oduleval 18248 . . . . 5 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·)
30 eqid 2730 . . . . 5 (lubβ€˜π·) = (lubβ€˜π·)
31 biid 260 . . . . 5 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))
32 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V β†’ 𝐷 ∈ V)
3328, 29, 30, 31, 32lubfval 18309 . . . 4 (𝐷 ∈ V β†’ (lubβ€˜π·) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}))
3427, 33mp1i 13 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (lubβ€˜π·) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}))
3519, 25, 343eqtr4a 2796 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (glbβ€˜π‘‚) = (lubβ€˜π·))
361, 35eqtrid 2782 1 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝐿 = (lubβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  βˆƒ!wreu 3372  Vcvv 3472  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„©crio 7368  Basecbs 17150  lecple 17210  ODualcodu 18245  lubclub 18268  glbcglb 18269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-dec 12684  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ple 17223  df-odu 18246  df-lub 18305  df-glb 18306
This theorem is referenced by:  odujoin  18367  posglbdg  18374  oduclatb  18466  glbprlem  47687
  Copyright terms: Public domain W3C validator