MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odulub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odulub 18304
Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
odulub.l 𝐿 = (glbβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
odulub (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝐿 = (lubβ€˜π·))

Proof of Theorem odulub
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odulub.l . 2 𝐿 = (glbβ€˜π‘‚)
2 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
3 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42, 3brcnv 5842 . . . . . . . . . 10 (𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐)
54ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐)
6 vex 3451 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
72, 6brcnv 5842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐)
87ralbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐)
93, 6brcnv 5842 . . . . . . . . . . 11 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 ↔ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)
108, 9imbi12i 351 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))
1110ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))
125, 11anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))))
1413riotabiia 7338 . . . . . 6 (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))) = (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1514mpteq2i 5214 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))))
1612reubii 3361 . . . . . 6 (βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
1716abbii 2803 . . . . 5 {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))} = {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}
1815, 17reseq12i 5939 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))})
1918eqcomi 2742 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))})
20 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
21 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
22 eqid 2733 . . . 4 (glbβ€˜π‘‚) = (glbβ€˜π‘‚)
23 biid 261 . . . 4 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24glbfval 18260 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (glbβ€˜π‘‚) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑏(leβ€˜π‘‚)𝑐 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑐 β†’ 𝑑(leβ€˜π‘‚)𝑏))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
2726fvexi 6860 . . . 4 𝐷 ∈ V
2826, 20odubas 18188 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·)
2926, 21oduleval 18186 . . . . 5 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·)
30 eqid 2733 . . . . 5 (lubβ€˜π·) = (lubβ€˜π·)
31 biid 261 . . . . 5 ((βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))
32 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V β†’ 𝐷 ∈ V)
3328, 29, 30, 31, 32lubfval 18247 . . . 4 (𝐷 ∈ V β†’ (lubβ€˜π·) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}))
3427, 33mp1i 13 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (lubβ€˜π·) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‚) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑)))) β†Ύ {π‘Ž ∣ βˆƒ!𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (Baseβ€˜π‘‚)(βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑐◑(leβ€˜π‘‚)𝑑 β†’ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑑))}))
3519, 25, 343eqtr4a 2799 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (glbβ€˜π‘‚) = (lubβ€˜π·))
361, 35eqtrid 2785 1 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝐿 = (lubβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3350  Vcvv 3447  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  Basecbs 17091  lecple 17148  ODualcodu 18183  lubclub 18206  glbcglb 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ple 17161  df-odu 18184  df-lub 18243  df-glb 18244
This theorem is referenced by:  odujoin  18305  posglbdg  18312  oduclatb  18404  glbprlem  47088
  Copyright terms: Public domain W3C validator