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Theorem odulub 17495
 Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l 𝐿 = (glb‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odulub (𝑂𝑉𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odulub.l . 2 𝐿 = (glb‘𝑂)
2 vex 3418 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
3 vex 3418 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42, 3brcnv 5538 . . . . . . . . . 10 (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐)
54ralbii 3190 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6 vex 3418 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
72, 6brcnv 5538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑑(le‘𝑂)𝑐)
87ralbii 3190 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
93, 6brcnv 5538 . . . . . . . . . . 11 (𝑏(le‘𝑂)𝑑𝑑(le‘𝑂)𝑏)
108, 9imbi12i 342 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))
1110ralbii 3190 . . . . . . . . 9 (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))
125, 11anbi12i 622 . . . . . . . 8 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
1413riotabiia 6884 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1514mpteq2i 4965 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
1612reubii 3341 . . . . . 6 (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1716abbii 2945 . . . . 5 {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
1815, 17reseq12i 5628 . . . 4 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
1918eqcomi 2835 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
20 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21 eqid 2826 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22 eqid 2826 . . . 4 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23 biid 253 . . . 4 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24glbfval 17345 . . 3 (𝑂𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2726fvexi 6448 . . . 4 𝐷 ∈ V
2826, 20odubas 17487 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
2926, 21oduleval 17485 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30 eqid 2826 . . . . 5 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
31 biid 253 . . . . 5 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
32 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3328, 29, 30, 31, 32lubfval 17332 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
3427, 33mp1i 13 . . 3 (𝑂𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
3519, 25, 343eqtr4a 2888 . 2 (𝑂𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
361, 35syl5eq 2874 1 (𝑂𝑉𝐿 = (lub‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {cab 2812  ∀wral 3118  ∃!wreu 3120  Vcvv 3415  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ◡ccnv 5342   ↾ cres 5345  ‘cfv 6124  ℩crio 6866  Basecbs 16223  lecple 16313  lubclub 17296  glbcglb 17297  ODualcodu 17482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-dec 11823  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ple 16326  df-lub 17328  df-glb 17329  df-odu 17483 This theorem is referenced by:  odujoin  17496  oduclatb  17498  posglbd  17504
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